Question

如圖所示，在平面坐標系xOy內，同種帶正電離子，質量m=1.0×10^-20kg、帶電量q=1.0×10^-10C，以相同速度不斷從C點垂直射入勻強電場，偏轉后通過極板MN上的小孔O離開電場時的速度大小為v=2.0×10⁶m/s，方向與x軸成30°角斜向上．在y軸右側有一個圓心位于O'（0.01m，0）點，半徑r=0.01m的圓形磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度B=0.01T，有一垂直于x軸的面積足夠大的豎直熒光屏PQ置于坐標x₀=0.04m處．已知NC之間的距離d=0.02m．試求：
（1）粒子在磁場中的運動軌跡半徑；
（2）偏轉電場強度的大小；
（3）若圓形磁場區(qū)可沿x軸移動，圓心O'在x軸上的移動范圍為（0.01m，+∞），由于磁場位置的不同，導致粒子打在熒光屏上的位置也不同，求粒子打在熒光屏上點的縱坐標的范圍．

Answer 1

分析：（1）離子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律求軌跡半徑；
（2）粒子射入電場后做類平拋運動，將速度v分解為沿x軸和y軸兩個方向，得到初速度，根據動能定理求場強E；
（3）由幾何知識分析并求解離子打在熒光屏的最低點和最高點的縱坐標，即得到縱坐標的范圍．

解答：解：（1）離子在磁場中做勻速圓周運動，由于洛侖茲力提供向心力，則有：qvB=m

v2

R

   ①
解得：R=0.02m   
（2）將速度v分解為如圖所示的x方向速度v₁和y方向速度v₂，
得到：v₂=vsin30°=0.5v    ②
則初速度為v₀=v_c ③
離子在偏轉電場中，由動能定理：Eqd=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 2

           ④
聯(lián)立②③④解得：E=7.5×10³V/m                 
（3）當圓心O′在x=0.01m時，由于R=0.02m=2r，所以離子從x軸上的D點離開磁場．   
由幾何關系可知，離子打在熒光屏的最低點，縱坐標為：y₁=-（x₀-2r）tan30°=

2 3

3

×10-2m  ⑤
隨著磁場向右移動，熒光屏上亮點的位置逐漸向上移動，當速度v的方向與磁場邊界相切時，離子將打在熒光屏的最高位置．其最高點的縱坐標為：
  y₂=x₀tan30°=

4 3

3

×10-2m  ⑥
故離子打在熒光屏上的點縱坐標范圍為[

2 3

3

×10-2m，

4 3

3

×10-2m]
答：
（1）粒子在磁場中的運動軌跡半徑為0.02m；
（2）偏轉電場強度的大小為7.5×10³V/m；
（3）粒子打在熒光屏上點的縱坐標范圍為[

2 3

3

×10-2m，

4 3

3

×10-2m]．

點評：本題是帶電粒子在復合場中運動的問題，磁場中由牛頓第二定律求軌跡半徑，由幾何知識求相關距離是常用的方法．電場中運用運動的分解法和動能定理處理此類問題．