Question

如圖所示，在平面坐標(biāo)xoy內(nèi)，在y軸左側(cè)與直線x=-2L右側(cè)區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y軸右側(cè)存在一矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向外（圖中未畫出），坐標(biāo)原點(diǎn)O為磁場(chǎng)邊界上一點(diǎn)，一帶電粒子從電場(chǎng)邊界上Q（-2L，-L）點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，并恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中作半徑為

2

L的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后又恰好垂直y軸返回電場(chǎng)并從P點(diǎn)離開電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求：（計(jì)算結(jié)果可以保留根號(hào)）
（1）粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比；
（3）粒子由Q點(diǎn)到P點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解兩個(gè)分速度，合成得到合速度的大小和方向；
（2）先對(duì)粒子的類平拋運(yùn)動(dòng)根據(jù)分位移公式列式；再對(duì)粒子的勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)牛頓第二定律列式，最后聯(lián)立求解即可；
（3）粒子在電場(chǎng)中是類似平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直y軸返回電場(chǎng)區(qū)域，故矩形磁場(chǎng)區(qū)域與坐標(biāo)軸不平行；根據(jù)t=

θ

360°

T求解磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，運(yùn)用正交分解法求解電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，最后求和即可．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
x方向：2L=v₀t
y方向：L=

0+vy

2

t
解得：v_y=v₀
故離開電場(chǎng)時(shí)的合速度：v=

v 2 x + v 2 y

=

2

v0，與x軸成45°斜向右上方；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
x方向：2L=v₀t
y方向：L=

1

2

?

qE

m

?t²
解得：E=

m v 2 0

2qL

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m

v2

r

其中：r=

2

L
B=

mv

qr

=

m? 2 v0

q? 2 L

=

mv0

qL

故：

E

B

=

m v 2 0 2qL

mv0 qR

=

v0

2

（3）粒子在電場(chǎng)中是類似平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖：

粒子Q到O的時(shí)間為：t₁=

2L

v0

粒子由O到離開磁場(chǎng)的時(shí)間：t₂=

225°

360°

T=

5

8

T
其中：T=

2πm

qB

=

2πL

v0

故：t₂=

5

8

×

2πL

v0

=

5πL

4v0

粒子返回電場(chǎng)后是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)其水平分運(yùn)動(dòng)得到：
t₃=

2L+r?sin45°

v

=

2L+ 2 × 2 2 L

2 v0

=

3 2

2

L

v0

故粒子由Q點(diǎn)到P點(diǎn)所用的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=

2L

v0

+

5πL

4v0

+

3 2

2

L

v0

=(8+6

2

+5π)

L

4v0

答：（1）粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度的大小為

2

v0，與x軸成45°斜向右上方；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為

v0

2

；
（3）粒子由Q點(diǎn)到P點(diǎn)所用的時(shí)間為(8+6

2

+5π)

L

4v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分類平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)分段考慮，類似平拋運(yùn)動(dòng)是根據(jù)分位移公式列式求解，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是根據(jù)牛頓第二定律列式，不難．