Question

如下左圖所示，真空中有兩水平放置的平行金屬板C、D，上面分別開有正對的小孔O₁和O₂，金屬板C、D接在正弦交流電源上，兩板間的電壓u_CD隨時間t變化的圖線如下右圖所示。t=0時刻開始，從D板小孔O₁處連續不斷飄入質量為m=3.2×10^-25kg，電荷量為q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（設飄入速度很小，可視為零）。在C板外側有以MN為上邊界CM為左邊界的勻強磁場，MN與C金屬板平行，相距d=10cm，O₂C的長度L=10cm，勻強磁場磁感應強度的大小為B=0.10T，方向如圖所示，粒子的重力及粒子間相互作用力忽略不計。平行金屬板C、D之間的距離足夠小，粒子在兩板間的運動時間可忽略不計。求：

⑴帶電粒子經小孔O₂進入磁場后，能飛出磁場邊界MN的最小速度為多大？

⑵從0到0.04s末時間內哪些時間段飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN？

⑶磁場邊界MN有粒子射出的長度范圍有多長。（計算結果保留三位有效數字）

Answer 1

（1）設粒子飛出磁場邊界MN的最小速度為v₀，粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力知：

qv₀B=mv₀²/R₀   (2分)

粒子恰好飛出磁場，則有：R₀=d   (2分)

所以最小速度 v₀=qBd/m=5×10³m/s   (2分)

(2)由于C、D兩板間距離足夠小，帶電粒子在電場中運動時間可忽略不計，故在粒子通過電場過程中，兩極板間電壓可視為不變，設恰能飛出磁場邊界MN的粒子在電場中運動時CD板對應的電壓為U₀，則根據動能定理知：

qU₀=mv₀²/2   (2分)

得：U₀=mv₀²/2q=25V   (2分)

根據圖像可知：U_CD=50sin50πt，25V(或-25V)電壓對應的時間分別為： 7/300s和11/300s，所以粒子在0到0.04s內飛出磁場邊界的時間為7/300s—11/300s (2分)

（3）設粒子在磁場中運動的最大速度為v_m，對應的運動半徑為R_m，則有：

qU_m=mv_m²/2    (1分)          qv_mB=mv_m²/R_m   (1分)

粒子飛出磁場邊界時相對小孔向左偏移的最小距離為：

x=R_m-(R_m²-d²)^1/2=0.1×(2^1/2-1)m≈0.0414m   (2分)

磁場邊界MN有粒子射出的長度范圍為：△x=d-x=0.0586m   (2分)