Question

如圖，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO’轉動，OO’沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α=45°．兩質量均為m=0.1kg的小環，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為L=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的輕質細線連接．環與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍．當桿以角速度ω轉動時，細線始終處于水平狀態，取g=10m/s²．
（1）求桿轉動角速度ω的最小值；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，寫出此過程中細線拉力隨角速度變化的函數關系式．

Answer 1

（1）角速度最小時，f_max沿桿向上，此時繩處于松弛狀態則
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₁²r，
且f_max=0.2F_N，r=

l

2

，
解得ω₁=

10

3

≈3.33rad/s
（2）當f_max沿桿向下時，繩仍處于松弛狀態，有
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₂²r，
解得ω₂=5rad/s
此后，拉力隨ω的增大而變大，當細線拉力剛達到最大時，有
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₃²r，
解得ω₃=10rad/s
因此在ω₂～ω₃間，F拉=mω2r-FNcos45°+fmaxsin45°
所以拉力隨角速度的函數關系式為：F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）
答：（1）桿轉動角速度ω的最小值為3.33rad/s；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，此過程中細線拉力隨角速度變化的函數關系式為
F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）．