Question

【題目】如圖所示，半徑R=0.8m的光滑絕緣導軌固定于豎直平面內，加上某一水平方向的勻強電場時，帶正電的小球沿軌道內側做圓周運動，它的電量q=1.00×10﹣7C．圓心O與A點的連線與豎直成一角度θ，在A點時小球對軌道的壓力N=1.2N，此時小球的動能最大．若小球的最大動能比最小動能多0.32J，且小球能夠到達軌道上的任意一點（不計空氣阻力，g取10m/s2）．則：

（1）小球的最小動能是多少？
（2）小球受到重力和電場力的合力是多少？
（3）現小球在動能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.4s后的動能與它在A點時的動能相等，求小球的質量和電場強度．

Answer 1

【答案】
（1）解：小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能EkB．設小球在復合場中所受的合力為F，則有：

即：

帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有：

﹣F2R=EKB﹣EKA=﹣0.32

由此可得：F=0.2N，EKB=0.8J

即小球的最小動能為0.8J，重力和電場力的合力為0.2N

答：小球的最小動能是0.8J；

（2）解：小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能EkB．設小球在復合場中所受的合力為F，則有：

即：

帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有：

﹣F2R=EKB﹣EKA=﹣0.32

由此可得：F=0.2N，EKB=0.8J

即小球的最小動能為0.8J，重力和電場力的合力為0.2N

答：小球受到重力和電場力的合力是20N；

（3）解：帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動．設小球的質量為m，則：

在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，有：

2R= t2

得：m= =0.01kg

由幾何關系有：

故：θ=600

在垂直于BA方向上做勻速運動，有：Eq=Fsinθ

解得：E= ，方向水平向左

答：小球的質量為0.01kg．電場強度為 方向水平向左

【解析】（1）小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能，根據向心力公式寫出F的表達式，帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理列出F和動能之間的表達式。聯立可求解。
（2）小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能，根據向心力公式寫出F的表達式，帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理列出F和動能之間的表達式。聯立可求解。
（3）帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動．在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，列出時間和位移的表達式，再結合幾何關系求出角度，最后利用垂直于BA方向上平衡列方程可解。
【考點精析】利用動能定理的綜合應用和能量守恒定律對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷；能量守恒定律：能量既不會消滅，也不會創生，它只會從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到另一個物體，而在轉化和轉移過程中，能量的總量保持不變．