Question

（2005?盧灣區模擬）如圖所示，由粗細均勻的電阻絲繞成的矩形導線框abcd固定于水平面上，導線框邊長ab=L，bc=2L，整個線框處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感強度為B．導線框上各段導線的電阻與其長度成正比，已知該種電阻絲單位長度上的電阻為λ，λ的單位是Ω/m．今在導線框上擱置一個與ab邊平行地且與導線框接觸良好的金屬棒MN，MN的電阻為r，其材料與導線框的材料不同，如圖所示．金屬棒MN在外力作用下沿x軸正方向作速度為v的勻速運動，在金屬棒從導線框最左端（該處x=0）運動到導線框最右端的過程中：
（1）請寫出金屬棒中的感應電流I隨x變化的函數關系式；
（2）試證明當金屬棒運動到bc段中點時，MN兩點間電壓最大，并請寫出最大電壓U_m的表達式；
（3）試求出在此過程中，金屬棒提供的最大電功率P_m；
（4）試討論在此過程中，導線框上消耗的電功率可能的變化情況．

Answer 1

分析：（1）金屬棒在外力作用下沿x軸正方向勻速運動的過程中，產生的感應電動勢為E=BLv．根據串、并聯關系求出外電路總電阻與x的關系，由閉合電路歐姆定律得到感應電流I與x的函數關系式．
（2）根據外電路總電阻表達式，分析外電路總電阻最大時，MN間的電壓最大，此時MN運動到bc、ad兩邊的中線，求出感應電流，由歐姆定律求得M、N間電壓最大值U_m．
（3）當外電路電阻等于電源的內阻時，MN輸出功率最大，由功率公式求出最大輸出功率P_m．
（4）根據外電阻與MN內阻大小關系，分情況進行討論分析．

解答：解：（1）MN產生的感應電動勢 ?=BLv   
由閉合電路歐姆定律得：I=

?

r+R

=

BLv

r+ λ(L+2x)(5L-2x) 6L

=

6BL2v

6Lr+λ(L+2x)(5L-2x)

       
（2）M、N兩點間電壓U=?-Ir，當外電路電阻最大時，I最小，U有最大值U_m．
外電路總電阻R=

λ(L+2x)(5L-2x)

6L

，
由數學知識得知：當L+2x=5L-2x，即x=L時，R有最大值
∴x=L時，即金屬棒在bc中點時M、N兩點間電壓有最大值，得證．           
最大電壓為 U_m=IR=

3BL2vλ

2r+3λL

（3）當R=rL時，MN的輸出功率最大，
P_m=

?2

5 6 Lλ+r

=

6?2

5Lλ+6r

=

6(BLv)2

5Lλ+6r

（4）外電路電阻最小值為 R_min=λ

L?5L

L+5L

=

5

6

Lλ，最大值為 R_max=λ

3L?3L

3L+3L

=

3

2

Lλ
當r＜R_min，即r＜

5

6

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變小，后變大；    
當R_min＜r＜R_max，即

5

6

Lλ＜r＜

3

2

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變大，后變小，再變大，再變小；                                                    
當r＞R_max，即r＞

3

2

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變大，后變小．      
答：
（1）請寫出金屬棒中的感應電流I隨x變化的函數關系式I=

6BL2v

6Lr+λ(L+2x)(5L-2x)

；
（2）證明見上．最大電壓U_m的表達式為U_m=

3BL2vλ

2r+3λL

；
（3）金屬棒提供的最大電功率為

6?2

5Lλ+6r

．
（4）導線框上消耗的電功率可能的變化情況是
當r＜R_min，即r＜

5

6

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變小，后變大；
當R_min＜r＜R_max，即

5

6

Lλ＜r＜

3

2

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變大，后變小，再變大，再變小；
當r＞R_max，即r＞

3

2

Lλ時，導線框上消耗的電功率先變大，后變小．

點評：本題是電磁感應中電路問題，要理解并掌握路端電壓與外電阻的關系，熟記重要結論：當外電路電阻等于電源的內阻時，電源的輸出功率最大．