Question

如圖所示，在豎直平面內，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B點，C點是最低點，圓心角∠BOC＝37°，D點與圓心O點等高，圓弧軌道半徑R＝1.0 m，現在一個質量為m＝0.2 kg可視為質點的小物體，從D點的正上方E點處自由下落，DE距離h＝1.6 m，小物體與斜面AB之間的動摩擦因數μ＝0.5.取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s²。求：
 
(1)小物體第一次通過C點時軌道對小物體的支持力N的大小；
(2)要使小物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度LAB至少要多長；
(3)若斜面已經滿足(2)要求，小物體從E點開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運動，在此過程中系統因摩擦所產生的熱量Q的大小．

Answer 1

（1）12.4 N；(2)  ；（3）4.8J

試題分析：(1)小物體從E到C，由能量守恒定律得
mg(h＋R)＝mv       ①
在C點，由牛頓第二定律得：N－mg＝m        ②
聯立①②解得N＝12.4 N.
(2)從E→D→C→B→A過程，由動能定理得
W_G－W_阻＝0③
W_G＝mg[(h＋Rcos37°)－L_ABsin37°]       ④
W_阻＝μmgcos37°L_AB                    ⑤
聯立③④⑤解得
（2）因為（或）
所以，小物體不會停在斜面上，小物體最后以C為中心，B為最高點沿圓弧軌道做往返運動。
從E點開始直至穩定，系統因摩擦力產生的熱量
      ⑥
  ⑦
聯立⑥⑦解得