Question

（2010?南京模擬）如圖甲，兩光滑的平行導軌MON與PO′Q，其中ON、O′Q部分是水平的，傾斜部分與水平部分用光滑圓弧連接，QN兩點間連電阻R，導軌間距為L．水平導軌處有兩個勻強磁場區域Ⅰ、Ⅱ（分別是cdef和hgjk虛線包圍區），磁場方向垂直于導軌平面豎直向上，Ⅱ區是磁感強度B₀的恒定的磁場，Ⅰ區磁場的寬度為x₀，磁感應強度隨時間變化．一質量為m，電阻為R的導體棒垂直于導軌放置在磁場區中央位置，t=0時刻Ⅰ區磁場的磁感強度從B₁大小開始均勻減小至零，變化如圖乙所示，導體棒在磁場力的作用下運動的v-t圖象如圖丙所示．
（1）求出t=0時刻導體棒運動加速度a．
（ 2）求導體棒穿過Ⅰ區磁場邊界過程安培力所做的功和將要穿出時刻電阻R的電功率．
（3）根據導體棒運動圖象，求棒的最終位置和在0-t₂時間內通過棒的電量．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律求解出感應電動勢；根據歐姆定律求解出電流；計算出安培力后根據牛頓第二定律求解出加速度；
（2）根據動能定理列式求解安培力的功，根據動生電動勢和感生電動勢合成得到電動勢，求出電流和電功率；
（3）結合圖象并運用微元法，得到Ⅱ區寬度，然后根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式、切割公式等列式分析計算．

解答：解：（1）t=0時刻 E=

△Φ

△t

=

B1

t0

?

Lx0

2

，I=

E

2R

ab棒受到向左的安培力 F=B1IL=

B 2 1 L2x0

4Rt0

ab棒向左的加速度 a=

F

m

=

B 2 1 L2x0

4mRt0

（2）

1

2

t₀時刻導體棒穿出磁場速度為v₀，由動能定理，安培力的功為W=

1

2

m

v

2 0

將要穿出磁場Ⅰ區時電動勢為E=

△Φ

△t

-BLv=

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

I=

E

2R

，P=I2R=

1

4R

(

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

)2
（3）設磁場Ⅱ區寬度為x₁，棒在Ⅱ區任一時刻速度為v，E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力 F=B0IL=

B02L2v

2R

加速度大小a=

B02L2v

2mR

△v=-a△t=

-B02L2v

2mR

△t
穿過磁場Ⅱ區全程
∑△v=

1

2

v0-v0=

B02L2

2mR

∑△x=

-B02L2

2mR

x1
x1=

mRv0

B 2 0 L2

棒從斜面返回磁場Ⅱ初速度

1

2

v₀，同理可知，經過x₁位移速度減為零，所以停在Ⅱ區右端
又 E=

△Φ

△t

，I=

E

2R

△Q=I△t=

△Φ

2R

0-t₂時間內 △Φ 1=-

B1Lx0

2

，△Φ 2=B0Lx1=

mRv0

B0L

△Q=

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

答：（1）開始時刻導體棒運動加速度a為

B 2 1 L2x0

4mRt0

；
（ 2）導體棒穿過Ⅰ區磁場邊界過程安培力所做的功為

1

2

m

v

2 0

，將要穿出時刻電阻R的電功率為

1

4R

(

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

)2；
（3）棒的最終位置在Ⅱ區右端，在0-t₂時間內通過棒的電量為

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

．

點評：本題關鍵結合圖象得到導體棒的運動規律；對于第二問，要注意同時存在感生和動生電動勢；第三問要結合微元法求解．