Question

圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g.求：

1.質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v1；

2. 彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能Ep；

3. 已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在m到m之間變化，且均能落到水面．持續投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

 

Answer 1

 

1.

2.3mgR         

3.πR2(或8.25πR2)

解析:

(1)質量為m的魚餌到在管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則

mg＝m        ①………………（1分）

由①式解得v1＝     ②…………（1分）

(2)彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋mv    ③…………（2分）

由②③式解得

Ep＝3mgR          ④…………（1分）

(3)不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x1，由平拋運動規律有

4．5R＝gt2        ⑤…………（1分）

x1＝v1t＋R      ⑥…………（1分）

由⑤⑥式解得x1＝4R     ⑦…………（1分）

當魚餌的質量為m時，設其到達管口C時速度大小為v2，由機械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋v      ⑧…………（2分）

由④⑧式解得v2＝2      ⑨…………（1分）

質量為m的魚餌落到水面上時，設離OO′的水平距離為x2，則

x2＝v2t＋R     ⑩…………（1分）

由⑤⑨⑩式解得x2＝7R …………（2分）

魚餌能夠落到水面的最大面積S

S＝(πx－πx)＝πR2(或8.25πR2)