Question

（15分）如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R．下端固定的輕質彈簧。投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0．5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去。設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零。不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能。已知重力加速度為g。

求：                   
⑴質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；
⑵彈簧壓縮到0．5R時的彈性勢能E_p；
⑶已知地面與水面相距1．5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90º角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在2m/3到m之間變化，且均能落到水面。持續投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

(1)     (2) 3mgR   (3) 或

解析試題分析：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，
則mg =       1′  
解得　v₁ =    1′
（2）彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有
    2′   
解得　     1′
（3）不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運動規律有
4.5R = ，    1′    
，  1′    
解得　    1′
當魚餌的質量為時，設其到達管口C時速度大小為，由機械能定律有
    2′
解得　 
質量為的魚餌落到水面上時，設離OO′的水平距離為x₂，
則     1′
解得　      1′
魚餌能夠落到水面的最大面積S =       2′
     1′
考點：機械能守恒、平拋運動規律
點評：中等難度。本題中彈性勢能每次都是一樣的，質量不同的魚食從管口射出時的速度不一樣，落點就不一樣，是個范圍，求出最大值和最小值，兩個面積差就是所求面積。