Question

（2009?深圳二模）如圖所示，N匝矩形金屬線圈的質量為m，電阻為R，放在傾角為θ的光滑斜面上，其ab邊長度為L且與斜面底邊平行．與ab平行的兩水平虛線MN、PQ之間，在t=0時刻加一變化的磁場，磁感應強度B大小隨時間t的變化關系為B=Kt，方向垂直斜面向上．在t=0時刻將線圈由圖中位置靜止釋放，在t=t₁時刻ab邊進入磁場，t=t₂時刻ab邊穿出磁場．線圈ab邊剛進入磁場瞬間電流為0，穿出磁場前的瞬間線圈加速度為0．（重力加速度為g）求：

（1）MN、PQ之間的距離d；
（2）從t=0到t=t₁運動過程中線圈產生的熱量Q；
（3）線圈的ab邊在穿過磁場過程中克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）ab邊進入磁場前，線圈做勻加速運動，由牛頓第二定律可以求出線圈的加速度，由勻變速運動的速度公式求出ab邊進入磁場時的速度；由法拉第電磁定律求出由于磁場變化而產生的感應電動勢，由E=BLv求出ab切割磁感線而產生的感應電動勢，由題意知，這兩個電動勢的和電動勢是零，據此求出磁場的寬度d．
（2）由歐姆定律求出感應電流，由焦耳定律求出焦耳熱．
（3）線圈穿出磁場時的加速度為零，合力為零，求出此時線圈受到的安培力，由平衡條件求出線圈穿出磁場時的速度，然后由動能定理求出安培力所做的功．

解答：解：（1）線圈進入磁場前做勻加速運動，
由牛頓第二定律得：mgsinθ=ma，a=gsinθ，
當t=t₁時，線圈的速度：v₁=at₁=gsinθt₁…①
由法拉第電磁感應定律得，由于磁場變化產生的感應電動勢：
E₁=N

△Φ

△t

=NS

△B

△t

=Ndl

Kt1-0

t1-0

=NKld，
ab邊切割磁感線產生的感應電動勢：
E₁′=NB₁lv₁=NKlgt₁²sinθ，
由題意可知瞬間電流為0，
則：E_合=E₁-E₁′=0
即：NKdl=NKlgt₁²sinθ，
∴磁場寬度：d=gt₁²sinθ；
（2）由（1）可知：E₁=NKld，感應電流：I=

E1

R

=

NKld

R

，
從t=0到t=t₁運動過程中線圈產生的熱量Q：
 Q=I2Rt1=

N2k2L2g2sin2θ t 5 1

R

；
（3）當t=t₂時，由題意知：mgsinθ-NB₂I₂L=0，
設ab邊穿出磁場瞬間的速度為v₂，
ε2=NB2Lv2，I2=

NB2Lv2

R

，
∴v2=

mgRsinθ

N2k2t2L2

，
由動能定理：

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

=mgdsinθ-W，
解得：W=

1

2

mg2sin2θ(3

t

2 1

-

m2R2

N4k4 t 4 2 L4

)；
答：（1）MN、PQ之間的距離為gt₁²sinθ；
（2）從t=0到t=t₁運動過程中線圈產生的熱量為

N2K2L2g2(sinθ)2 t 5 1

R

；
（3）線圈的ab邊在穿過磁場過程中克服安培力所做的功為

1

2

mg²sin²θ(3

t

2 1

-

m2R2

N4K4L4 t 4 2

)．

點評：分析清楚線圈的運動過程、對線圈正確受力分析、熟練應用法拉第電磁感應定律、動能定律是正確解題的關鍵，本題計算量大，過程較復雜，是一道難題，解題是要細心、認真，否則會出錯．