Question

如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上．現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行．已知A的質量為3m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統處于靜止狀態．釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面．則下列說法正確的是（　　）

• A、斜面傾角α=37°
• B、A獲得最大速度為g

  m k

• C、C剛離開地面時，B的加速度最大
• D、從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B兩小球組成的系統機械能守恒

Answer 1

分析：C剛離開地面時，物體A沿斜面下滑的距離應該等于彈簧原來被壓縮的長度再加上后來彈簧被拉長的長度．B獲得最大速度時，該瞬時B應該處于受力平衡狀態，對C和B受力分析，可以求得斜面的傾角α；對于整個系統機械能守恒，根據機械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．

解答：解：A、設當物體C恰好離開地面時，彈簧的伸長量為x_C，則
  kx_C=mg ①
物體C剛離開地面時，以B為研究對象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kx_C、細線的拉力T三個力的作用，
設物體B的加速度為a，根據牛頓第二定律，
對B有：T-mg-kx_C=ma ②
對A有：4mgsinα-T=4ma ③
由②、③兩式得
  3mgsinα-mg-kx_C=5ma ④
當B獲得最大速度時，有 a=0 ⑤
由①④⑤式聯立，解得 sinα=0.6，所以：α=37°，故A正確；
B、設開始時彈簧的壓縮量為x_B，則 kx_B=mg
當物體C剛離開地面時，物體B上升的距離以及物體A沿斜面下滑的距離均為：
   h=x_C+x_B
由于彈簧處于壓縮狀態和伸長狀態時的彈性勢能相等，且物體C剛剛離開地面時，A、B兩物體的速度相等，設為v_Bm，以A、B及彈簧組成的系統為研究對象，
由機械能守恒定律得：3mghsinα-mgh=

1

2

（3m+m） V_Bm²
代入數據，解得：V_Bm=g

m k

，故B正確；
C、C剛離開地面時，B的速度最大，加速度為零，故C錯誤；
D、從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B兩小球以及彈簧構成的系統機械能守恒，彈簧的彈性勢能增大，所以A、B兩小球組成的系統機械能減小．故D錯誤；
故選：AB．

點評：本題關鍵是分析求出AB兩球的運動情況，然后結合機械能守恒定律和胡克定律多次列式求解分析，特別要把握住A球速度最大的臨界條件：加速度為0．