Question

如圖所示為某種新型分離設備內部電、磁場分布情況圖。自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域。區域Ⅰ寬度為d₁，分布有沿紙面向下的勻強電場E₁；區域Ⅱ寬度為d₂，分布有垂直紙面向里的勻強磁場B₁；寬度可調的區域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強電場E₂和垂直紙面向里的勻強磁場B₂。現有一群質量和帶電量均不同的帶電粒子從區域Ⅰ上邊緣的注入孔A點被注入，這些粒子都只在電場力作用下由靜止開始運動，然后相繼進入Ⅱ、Ⅲ兩個區域，滿足一定條件的粒子將回到區域Ⅰ，其他粒子則從區域Ⅲ飛出，三區域都足夠長。已知能飛回區域Ⅰ的帶電粒子的質量為m=6.4×10^—27kg、帶電量為q=3.2×10^—19C，且有d₁=10cm，d₂=5cm，E₁=" " E₂=40V/m，B₁=4×10^—3T，B₂=2×10^—3T。試求：

（1）該帶電粒子離開區域Ⅰ時的速度；
（2）該帶電粒子離開區域Ⅱ時的速度；
（3）為使該帶電粒子還能回到區域Ⅰ的上邊緣，區域Ⅲ的寬度d₃應滿足的條件；
（4）該帶電粒子第一次回到區域Ⅰ的上邊緣時離開A點的距離。

Answer 1

（1）2×10⁴m/s,方向沿y軸正向（2）2×10⁴m/s, 方向與x軸正向夾45°
（3）   d₃>10cm    （4）d=40+10π—10=57.26cm

為研究方便，建立如圖所示坐標系

（1）由E₁qd₁=得，
帶電粒子離開區域Ⅰ時的速度，   方向沿y軸正向。
（2）帶電粒子在區域Ⅱ內運動時，只受洛侖茲力，且不做功，所以帶電粒子離開區域Ⅱ時的速度大小仍為
方向：由圖中幾何關系可知：，又由得：
聯立代入數據得：，，即 
所以帶電粒子離開區域Ⅱ時的速度方向與x軸正向夾45°。
（3）如果將帶電粒子離開區域Ⅱ也即進入區域Ⅲ時的速度分解成和，
則有===，
所以，方向沿y軸反向，方向沿x軸正向，
又因為，方向沿y軸正向，即與抵消。
所以帶電粒子在區域Ⅲ中運動可視為沿x軸正向的速度為的勻速直線運動和以速率為以及對應洛淪茲力作為向心力的勻速圓周運動的疊加。軌跡如圖所示。
圓周運動半徑為=10cm，       周期T==
所以只要帶電粒子運動到軌跡最低點C時不出區域Ⅲ，就可回到區域Ⅰ的上邊緣。
所以區域Ⅲ的寬度應滿足d₃>h
由上面的運動分析可知，帶電粒子到最低點，圓周運動剛好轉過，
所以h==0.1m=10cm所以d₃>10cm
（4）根據運動的對稱性可知，帶電粒子回到區域Ⅰ的上邊緣的B點，距A點的距離為：
d=2[（1—cosθ）++·]代入數據得：
d=40+10π—10=57.26cm