Question

如圖，一質量為m=1kg的木板靜止在光滑水平地面上．開始時，木板右端與墻相距L=0.08m；質量為m=1kg 的小物塊以初速度v=2m/s 滑上木板左端．木板長度可保證物塊在運動過程中不與墻接觸．物塊與木板之間的動摩擦因數為μ=0.1．木板與墻的碰撞是完全彈性的．取g=10m/s²，求
（1）從物塊滑上木板到兩者達到共同速度時，木板與墻碰撞的次數及所用的時間；
（2）達到共同速度時木板右端與墻之間的距離．

Answer 1

【答案】分析：本題中開始小木塊受到向后的摩擦力，做勻減速運動，長木板受到向前的摩擦力做勻加速運動；當長木板反彈后，小木塊繼續勻減速前進，長木板勻減速向左運動，一直回到原來位置才靜止；之后長木板再次向右加速運動，小木塊還是勻減速運動；長木板運動具有重復性，由于木板長度可保證物塊在運動過程中不與墻接觸，故直到兩者速度相同，一起與墻壁碰撞后反彈；之后長木板向左減速，小木塊向右減速，兩者速度一起減為零．
解答：解：（l）物塊滑上木板后，在摩擦力作用下，木板從靜止開始做勻加速運動．設木板加速度為a，經歷時間T后與墻第一次碰撞．碰撞時的速度為v₁，則
μmg=ma    …①
…②
v₁=at     …③
聯立①②③解得
T=0.4s    v₁=0.4m/s…④
在物塊與木板兩者達到共同速度前，在每兩次碰撞之間，木板受到物塊對它的摩擦力作用而做加速度恒定的勻減速直線運動，因而木板與墻相碰后將返回至初態，所用時間也為為T．設在物塊與木板兩者達到共同速度v前木板共經歷n次碰撞，則有
v=v-（2nT+△t）a=a△t…⑤
式中△t是碰撞n次后木板從起始位置至達到共同速度時所需要的時間．
由于最終兩個物體一起以相同的速度勻速前進，故⑤式可改寫為
2v=v-2nT…⑥
由于木板的速率只能位于0到v₁之間，故有
0≤v-2nT≤2v₁…⑦
求解上式得1.5≤n≤2.5
由于n是整數，故n=2 …⑧
由于速度相同后還要再一起與墻壁碰撞一次，故一個碰撞三次；
再有①⑤⑧得△t=0.2s  …⑨
v=0.2m/s  …⑩
從開始到物塊與木板兩者達到共同速度所用的時間為
t=4T+△t=1.8s …（11）
即從物塊滑上木板到兩者達到共同速度時，木板與墻共發生三次碰撞，所用的時間為1.8s．
（2）物塊與木板達到共同速度時，木板與墻之間的距離為…（12）
聯立 ①與（12）式，并代入數據得    s=0.06m…（13）
即達到共同速度時木板右端與墻之間的距離為0.06m．
點評：本題關鍵要分清出長木板的運動為往復運動，具有重復性，而小木塊的運動是勻減速直線運動，然后根據運動學公式列式求解．