Question

如圖所示，在一個傾角為θ=37°（cos37°=0.8）的斜面上，O點固定一根細繩，細繩另一端連接一個質點．現將質點放到斜面上P點，由靜止釋放，已知OP連線水平且間距為繩長，質點滑動到細繩轉過角度α=90°的位置時剛好停止．問：
（1）質點與斜面間動摩擦因數μ為多少？
（2）試描述質點放到斜面上哪些位置時可以平衡？已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等．

Answer 1

分析：（1）對從P點到最低點過程運用動能定理列式分析求解即可；
（2）對小球受力分析，重力、支持力、摩擦力、拉力，重力和支持力的合力為mgsinθ，平行斜面向下，為恒力；拉力和靜摩擦力垂直，根據三角形定則進行分析即可．

解答：解：（1）將重力分解為下滑分力和垂直斜面分力，有
G₁=mgsinθ
G₂=mgcosθ
由于物體在垂直斜面方向無滑動，受力平衡，故
N=G₂=mgcosθ                      （1）
則物體所受的滑動摩擦力
f=μN=mgcosθ                      （2）
在物體擺動90度的過程中，由動能定理，有
mgsinθ?L-f?

π

2

L=0-0          （3）
由（2）（3）可得：
μ=

2tanθ

π

=

3

2π

                    （4）

（2）根據上問數據可知
f＜G₁
所以如果沒有細繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時應該使細繩拉緊，物體首先應停在斜面上以O為圓心，繩子長為半徑的圓上．
假設物體處于臨界平衡狀態，摩擦力為最大靜摩擦力f，設此時細繩與OP夾角α₀，由物體平衡，三力合力為零，固有
cosα0=

f

G1

=

μ

tanθ

=

2

π

                （5）
綜上所述，物體能夠平衡的位置為以O為圓心，下方使得細繩與OP夾角α取值范圍為：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]
答：（1）質點與斜面間動摩擦因數μ為

3

2π

；
（2）物體能夠平衡的位置為以O為圓心，下方使得細繩與OP夾角α取值范圍為：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]．

點評：本題關鍵在于力不共面，可以先將重力按照作用效果正交分解，分解為平行斜面和垂直斜面的兩個分力，然后將四個力平衡轉變為熟悉的三力平衡問題．