Question

如圖所示，在光滑水平地面上，有一質量m₁＝ 4.0kg的平板小車，小車的右端有一固定的豎直擋板，擋板上固定一輕質細彈簧。位于小車上A點處質量m₂＝1.0kg的木塊(可視為質點)與彈簧的左端相接觸但不連接，此時彈簧與木塊間無相互作用力。木塊與A點左側的車面之間的動摩擦因數μ＝ 0.40，木塊與A點右側的車面之間的摩擦可忽略不計。現小車與木塊一起以v₀＝ 2.0m/s的初速度向右運動，小車將與其右側的豎直墻壁發生碰撞，已知碰撞時間極短，碰撞后小車以v ₁＝ 1.0m/s的速度反向彈回，已知重力加速度g取10m/s²，彈簧始終處于彈性限度內。求:
（1）小車撞墻后彈簧的最大彈性勢能；
（2）要使木塊最終不從小車上滑落，則車面A點左側粗糙部分的長度應滿足什么條件?

Answer 1

（1）E_P=3.6J
（2）車面A點左側粗糙部分的長度應大于0.90m。

（1）小車與墻壁碰撞后向左運動，木塊與小車間發生相對運動將彈簧壓縮至最短時，二者速度相等，此時彈簧的彈性勢能最大，此過程中，二者組成的系統動量守恒，設彈簧壓縮至最短時，小車和木塊的速度大小為v，根據動量守恒定律有：
m₁v₁－m₂v₀=（m₁+m₂）v，                      ①
解得 v=0.40m/s。                          ②
設最大的彈性勢能為E_P，根據機械能守恒定律可得
E_P=m₁v₁²+m₂v₀²－（m₁+m₂）v²，            ③
由②③得E_P=3.6J。                        ④
（2）根據題意，木塊被彈簧彈出后滑到A點左側某處與小車具有相同的速度v’時，木塊將不會從小車上滑落, 此過程中，二者組成的系統動量守恒，故有v’ =v=0.40m/s，⑤
木塊在A點右側運動過程中，系統的機械能守恒，而在A點左側相對滑動過程中將克服摩擦阻力做功，設此過程中滑行的最大相對位移為L，根據功能關系有
μm₂gL= m₁v₁²+m₂v₀²－（m₁+m₂）v’²，       ⑥
解得L=0.90m，                             ⑦
即車面A點左側粗糙部分的長度應大于0.90m。