Question

（2007?浙江）如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛．現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)．已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處．求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°．

Answer 1

分析：先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球返回最低點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，對(duì)速度表達(dá)式分析，求出碰撞n次后的速度表達(dá)式，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結(jié)合題意討論即可．

解答：解：設(shè)小球m的擺線長度為l
小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機(jī)械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞過程是彈性碰撞，故滿足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
聯(lián)立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
說明小球被反彈，且v₁與v₀成正比，而后小球又以反彈速度和小球M再次發(fā)生彈性碰撞，滿足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到發(fā)生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏離方向?yàn)?5⁰的臨界速度滿足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv臨界2⑩
聯(lián)立①⑨⑩代入數(shù)據(jù)解得，當(dāng)n=2時(shí)，v₂＞v_臨界
當(dāng)n=3時(shí)，v₃＜v_臨界
即發(fā)生3次碰撞后小球返回到最高點(diǎn)時(shí)與豎直方向的夾角將小于45°．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細(xì)線與懸掛點(diǎn)的連線與豎直方向的最大角度，然后對(duì)結(jié)果表達(dá)式進(jìn)行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結(jié)合題意求解．