Question

【題目】如圖所示，在一固定且足夠長的斜面上，將A、B兩個小物塊由靜止釋放，A、B系統即開始在斜面上沿同一直線運動。已知：A、B間初始距離為s =m，A、B間若發生碰撞則為彈性正碰，A、B兩物塊與斜面間的動摩擦因數分別為μ1=、μ2 =，斜面傾角為θ且滿足sinθ =、cosθ =，重力加速度g = 10m/s2。試回答下列問題：

(1)若A、B質量之比為2：1，第一次碰后的運動中A、B系統動量是否守恒，求從釋放至A、B第2次碰撞所經歷的時間；

(2)若A、B質量相等，求A、B間第9次碰撞前A、B的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）s ；（2），0

【解析】(1)設A、B質量分別為2m、m，以沿斜面向下為正方向，A、B沿斜面下滑時所受合力分別為

FA = 2mg(sinθ -μ1cosθ) =

FB = mg(sinθ –μ2cosθ) =

可見只要A、B都在沿斜面下滑時，系統合力為0，動量守恒，若B停下不滑則所受摩擦力為靜摩擦，則系統動量不守恒。A、B下滑時加速度

從釋放至第一次碰撞的時間t0 = = 1s

第一次碰前A的速度v0 = a1t0 =

第一次碰撞至第二次碰撞過程，設B一直下滑，A、B位移相等皆為x，對A、B由動能定理

FAx = ΔEkA

FBx = ΔEkB

由此可見，若B一直保持下滑，則第一次碰前碰后及第二次碰前碰后系統動能皆相等

解得：

或

其中前一組解為第一次碰后狀態，后一組解為第二次碰前狀態，由此可知在第二次碰前B速度剛好減為0，B一直保持下滑的假設是正確的，第二次碰前的狀態與第一次碰前相同，系統將不斷重復此運動。兩次碰撞的時間間隔始終為

系統在第一次碰撞后確實一直動量守恒，從釋放到第2次碰撞所花時間為t = t0 + T = s

(2)A、B質量雖不一樣，但它們下滑時加速度不變仍為上問的a1 = 、a2=，質量相等的物體彈性正碰結果為速度交換，因此第一次碰后A速度為0，B速度為v0，之后B滑行至停下用時

t1 =

此時A速度

vA = a1t1 = =

此過程A平均速度為，B速度為，顯然A還未追上B，設A追上靜止的B時速度為v，則由位移關系有

在此計算中v0一直未代入數據，說明第n次碰前A速度為第n-1次前A速度的，所以第9次碰前A的速度為

第9次碰前B的速度為0

點睛:本題考查了動量守恒定律和動力學知識的綜合，關鍵理清A、B在碰撞前后的運動規律，根據牛頓定律、運動學公式等對每一步物理過程進行討論,最后歸納解答，難度中等．