Question

（2011?湖南二模）如圖甲所示，兩平行金屬板接有如圖乙所示隨時間t變化的電壓U，兩板間電場可看作均勻的，且兩板外無電場，板長L=0.2m，板間距離d=0.2m．在金屬板右側有一邊界為MN的區域足夠大的勻強磁場，MN與兩板中線OO'垂直，磁感應強B=5X10^-3T，方向垂直紙面向里．現有帶正電的粒子流沿兩板中線OO'連續射人電場中，已知每個粒子速度V₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不計，在每個粒子通過電場區域的極短時間內，電場可視作是恒定不變的．

（1）試求帶電粒子射出電場時的最大速度．
（2）證明：在任意時刻從電場射出的帶電粒子，進人磁場時在MN上的人射點和在MN上出射點的距離為定值，寫出該距離的表達式．
（3）從電場射出的帶電粒子，進人磁場運動一段時間后又射出磁場，求粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間．

Answer 1

分析：（1）當粒子從極板的右邊緣射出時，粒子的速度最大，根據粒子在勻強電場中的偏轉，通過偏轉位移求出偏轉的電壓，再通過動能定理求出粒子射出電場時的最大速度．
（2）設粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ，根據類平拋運動求出射出電場時的速度與初速度的關系，再根據帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，求出半徑的表達式，從而求出入射點與出射點的距離表達式，看是否與夾角θ有關．
（3）當帶電粒子在磁場中運動的圓心角最大，運動的時間最長，圓心角最小，時間最短．類平拋運動豎直方向上的分速度越大，粒子射出電場速度方向與MN間夾角越小，圓心角越大，根據幾何關系求出最大圓心角和最小圓心角，即可求出粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間．

解答：解：（1）偏轉電壓由0到200V的變化中，粒子流可能都能射出電場，也可能只有部分粒子能射出電場．
設偏轉的電壓為U₀時，粒子剛好能經過極板的右邊緣射出．

d

2

=

1

2

U0q

md

(

L

v0

)2
得U₀=100V．
知偏轉電壓為100V時，粒子恰好能射出電場，且速度最大．
根據動能定理得，

1

2

mvm2-

1

2

mv02=q

U0

2

vm=

2

×105m/s=1.41×105m/s．
方向：斜向右上方或斜向右下方，與初速度方向成45°夾角．
（2）設粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ．粒子射出電場時速度大小為：
v=

v0

sinθ

qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

=

mv0

qBsinθ

．
因此粒子射進磁場點與射出磁場點間距離為：
s=2Rsinθ=

2mv0

qB

．
由此可看出，距離s與粒子在磁場中運行速度的大小無關，s為定值．
（3）由（1）中結論可知，若粒子射出磁場的豎直分速度越大，則θ越小，故θ最小值為θ_m=45°，此情景下圓弧對應的圓心角為270°，入射粒子在磁場中運行最長時間為：
tmax=

3

4

T=

3πm

2qB

．
同理．粒子由右上方射入磁場時且速度方向與MN間夾角為45°時在磁場中運行的時間最短，
tmin=

1

4

T=

πm

2qB

．
答：（1）帶電粒子射出電場時的最大速度為1.41×10⁵m/s．
（2）距離的表達式為

2mv0

qB

．
（3）粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間分別為

3πm

2qB

、

πm

2qB

．

點評：本題考查了帶電粒子在電場中的偏轉和在磁場中做勻速圓周運動，關鍵掌握處理類平拋運動的方法，掌握粒子在磁場中運動的軌道半徑公式和周期公式，以及運動時間與圓心角的關系．