Question

（20分）一同學利用手邊的兩個完全相同的質量為m的物塊和兩個完全相同、勁度系數未知的輕質彈簧，做了如下的探究活動。已知重力加速度為g，不計空氣阻力。
（1）取一個輕質彈簧，彈簧的下端固定在地面上，彈簧的上端與物塊A連接，物塊B疊放在A上，A、B處于靜止狀態，如圖所示。若A、B粘連在一起，用一豎直向上的拉力緩慢提升B，當拉力的大小為時，A物塊上升的高度為L；若A、B不粘連，用一豎直向上的恒力作用在B上，當A物塊上升的高度也為L時，A、B恰好分離。求：

a.彈簧的勁度系數；
b.恒力的大小；
（2）如圖所示，將彈簧1上端與物塊A拴接，下端壓在桌面上（不拴接），彈簧2兩端分別與物塊A、B拴接，整個系統處于平衡狀態。現施力將物塊B緩緩地豎直上提，直到彈簧1的下端剛好脫離桌面。求在此過程中該拉力所做的功？（已知彈簧具有的彈性勢能為,k為彈簧的勁度系數，Δx為彈簧的形變量）

Answer 1

（1）a,b,   (2) 

試題分析：（1）a.設彈簧自然長度為，沒有作用力時，物塊A、B壓在彈簧上，彈簧的長度為

用力F₁向上緩慢提起物塊B，當力時，彈簧的長度為

物塊上升的高度 
解得
b. 在恒力F和彈簧的彈力作用下，A、B一起向上做加速運動，隨彈簧壓縮量減小，彈簧的彈力減小，一起向上的加速度逐漸減小。在此過程中A、B間的壓力也減小，一直到 A、B剛分離時，A、B間相互作用的彈力恰為0。A物塊受重力和彈簧的彈力，它的加速度為

此時B受重力和恒力F其加速度為

且剛分離時應有    
由以上方程解得        
(2)如圖所示，開始時物塊B受重力和彈簧2的彈力處于平衡狀態，設為彈簧2此狀態下的壓縮量，有


可得
可將物塊A、B（包括輕彈簧2）看成一個整體，受重力和彈簧1的彈力處于平衡狀態，設彈簧1此時壓縮量為，有
可得
施力將物塊B緩慢上提，彈簧2的長度增大，物塊A也向上移動，彈簧1的長度也增大，直到彈簧1的下端剛好脫離桌面，彈簧1與桌面間的作用力為0，彈簧1處于自然長度。此時兩物體仍都處于平衡狀態。設為彈簧2此狀態下的伸長量，對于物塊A此時受重力mg和彈簧2對物塊A向上的拉力，有
，可得
在此過程中物塊A向上移動的總距離為：。
物塊B與物塊A間的彈簧2長度由壓縮狀態變為伸長狀態，L₀為彈簧2的自然長度。由此可見物塊A與物塊B間的距離增加了，但物塊A向上移動了的距離，故物塊B向上移動的總距離為
物塊A的重力勢能增加量為
物塊B的重力勢能增加量為
彈簧1由壓縮狀態到自然長度，彈性勢能減小量為
彈簧2由壓縮Δx₂變為伸長Δx₂’彈性勢能改變量為
在此過程中該拉力所做的功等于整個系統的重力勢能和彈性勢能的增加量的代數和