Question

如圖所示，在xOy平面內的第Ⅲ象限中有沿-y方向的勻強電場，場強大小為E．在第I和第II象限有勻強磁場，方向垂直于坐標平面向里．有一個質量為m，電荷量為e的電子，從y軸的P點以初速度v₀垂直于電場方向進入電場（不計電子所受重力），經電場偏轉后，沿著與x軸負方向成45°角進入磁場，并能返回到原出發點P．
（1）并畫出電子運動軌跡的示意圖；
（2）求P點距坐標原點的距離
（3）電子從P點出發經多長時間再次返回P點．

Answer 1

分析：（1）分析電子的運動情況：電子在電場中，受到豎直向上的電場力而做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；進入磁場做勻速圓周運動；離開磁場后到P點做勻速直線運動． 畫出軌跡．
（2）電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．在M點電子的速度與x軸成45°角，則知電子經過M點的速度為v=

2

v₀．v_y=v₀．根據運動學求出

.

OP

；
（3）分三段過程研究時間：電場中、磁場中和離開磁場后做勻速直線運動的時間．磁場中根據軌跡的圓心角α，由t=

α

2π

T求時間．由幾何知識得到勻速直線運動的距離，即可求出勻速運動的時間．再根據幾何知識求出磁場中運動的半徑，求出T，即可求得總時間．

解答：解：（1）如右圖所示，電子進入電場，從P點到M點做類平拋運動，進入磁場后做勻速圓周運動，離開磁場后從N點到P點做勻速直線運動，畫出軌跡如圖所示．
（2）電子在電場中運動過程，有v_y=v₀=

eE

m

t
解得，t=

mv0

eE

則得 

.

OP

=

1

2

?

eE

m

t2=

m v 2 0

2eE

（3）電子在電場中運動時間為t₁=t=

mv0

eE

電子在磁場中運動時間為t₂=

3

4

T=

3

4

?

2πm

eB

=

3πm

2eB

電子從N點到P點的距離為：

.

NP

=

2

?

.

OP

電子在磁場中運動的速率為v=

2

v0
則電子從N點到P點的時間為t₃=

. DP

v

=

mv0

2eE

故總時間為t_總=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

又由圖知，OM=v₀t₁=

m v 2 0

eE

，ON=

.

OP

=

m v 2 0

2eE

而MN=OM+ON=

2

R，
聯立上兩式得，電子在磁場中運動的軌跡半徑R=

3m v 2 0

2 2 eE

又evB=m

v2

R

解得，B=

4E

3v0

所以t_總=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

=（4+3π）

3mv0

8eE

答：
（1）畫出電子運動軌跡的示意圖如圖所示；
（2）P點距坐標原點的距離為

m v 2 0

2eE

．
（3）電子從P點出發經（4+3π）

3mv0

8eE

的時間再次返回P點．

點評：熟悉類平拋運動的處理方式，把平拋運動分解成相互垂直方向的勻速直線運動和初速度為0的勻加速直線運動，通過分運動的處理得到合運動的性質．畫出軌跡，運用幾何知識求出磁場中運動的半徑，即可求出時間．