Question

【題目】（14分）為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l = 2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰好沿 AB 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數 μ = 0.50．（g＝10 m／s2、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

（1）求小物塊到達A點時速度。

（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？

（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

【答案】⑴vA=" 5" m/s⑵R1≤ 0.66m⑶R2≥ 1.65m

【解析】試題分析：（1）小物塊做平拋運動，經時間 t 到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度v0，豎直速度為vy，小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，則

得vy =" 3" m/s，

所以小物塊到A點的速度為5m/s

（2）物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 f = μFN= μmgcos37°

設物塊進入圓軌道到達最高點時有最小速度v1，此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時的半徑為 R0，

則

物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，根據動能定理有：

mg(h + lsin37°–2R0)–μmgcos37°·l =mv12–mv02.

聯立上式，解得R0=0.66m

若物塊從水平軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R1≤ 0.66m

（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊上升的高度須小于或等于某個值R，則 mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mgR =" 0" –mv02

解得R = 1.65m

物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則 R2≥ 1.65m