Question

磁懸浮列車是一種高速運載工具，它由兩個系統(tǒng)組成，一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力使車體在軌道上懸浮起來從而減小阻力。另一是驅(qū)動系統(tǒng)，即利用磁場與固定在車體下部的感應(yīng)金屬線圈相互作用，使車體獲得牽引力，如圖就是這種磁懸浮列車電磁驅(qū)動裝置的原理示意圖。即在水平面上有兩根很長的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道甲面的勻強(qiáng)磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B。列車底部固定著繞有N匝閉合的矩形金屬線圈abcd（列車車廂在圖中未畫出），車廂與線圈絕緣，兩軌道間距及線圈垂直軌道的ab邊長均為L，兩磁場的寬度均與線圈的ad邊長度相同，當(dāng)兩磁場B₁和B₂同時沿軌道向右運動時，線圈會受到向右的磁場力，帶動列車沿軌道運動。已知列車車廂及線圈的總質(zhì)量為M，整個線圈的電阻為R。
(1)假設(shè)用兩磁場同時水平向右以速度v₀做勻速運動來啟動列車，為使列車能隨磁場運動，求列車所受的阻力大小應(yīng)滿足的條件；
(2)設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如使列車水平向右以速度v做勻速運動，求維持列車運動外界在單位時間內(nèi)需提供的總能量；
(3)設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如用兩磁場由靜止開始向右做勻加速運動來啟動列車，當(dāng)兩磁場運動的時間為t₁時，列車正在向右做勻加速直線運動，此時列車的速度為v₁，求從兩磁場開始運動到列車開始運動所需要的時間t₀。

Answer 1

解：(1)列車靜止時，電流最大，列車受到的電磁驅(qū)動力最大設(shè)為F_m，此時
線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E₁=2NBLv₀
線框中的電流
整個線框受到的安培力F_m=2NBI₁L
列車所受阻力大小為
(2)當(dāng)列車以速度v勻速運動時，兩磁場水平向右運動的速度為v'，金屬框中感應(yīng)電動勢E=2NBL(v'-v)
金屬框中感應(yīng)電流
又因為F=2NBIL=f
求得
當(dāng)列車勻速運動時，金屬框中的熱功率為P₁=I²R
克服阻力的功率為P₂=fv
所以可求得外界在單位時間內(nèi)需提供的總能量為
(3)根據(jù)題意分析可得，為實現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運動，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運動的加速度相同，設(shè)加速度為a，則t₁時刻金屬線圈中的電動勢E=2NBL(at₁-v₁)
金屬框中感應(yīng)電流
又因為安培力
所以對列車，由牛頓第二定律得
解得
設(shè)從磁場運動到列車啟動需要時間為t₀，則t₀時刻金屬線圈中的電動勢E₀=2NBLat₀
金屬框中感應(yīng)電流
又因為安培力
所以對列車，由牛頓第二定律得
解得