Question

磁懸浮列車是一種高速運載工具，它是經典電磁學與現代超導技術相結合的產物．磁懸浮列車具有兩個重要系統．一是懸浮系統，利用磁力（可由超導電磁鐵提供）使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸．另一是驅動系統，就是在沿軌道安裝的繞組（線圈）中，通上勵磁電流，產生隨空間作周期性變化、運動的磁場，磁場與固定在車體下部的感應金屬框相互作用，使車體獲得牽引力．為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們給出如下的簡化模型，圖（甲）是實驗車與軌道示意圖，圖（乙）是固定在車底部金屬框與軌道上運動磁場的示意圖．水平地面上有兩根很長的平行直導軌，導軌間有豎直（垂直紙面）方向等距離間隔的勻強磁場B_l和B₂，二者方向相反．車底部金屬框的寬度與磁場間隔相等，當勻強磁場B_l和B₂同時以恒定速度v₀沿導軌方向向右運動時，金屬框也會受到向右的磁場力，帶動實驗車沿導軌運動．設金屬框垂直導軌的邊長L=0.20m、總電阻R=l.6Ω，實驗車與線框的總質量m=2.0kg，磁場B_l=B₂=B=1.0T，磁場運動速度v₀=10m/s．回答下列問題：
（1）設t=0時刻，實驗車的速度為零，求金屬框受到的磁場力的大小和方向；
（2）已知磁懸浮狀態下，實驗車運動時受到恒定的阻力 f₁=0.20N，求實驗車的最大速率v_m；
（3）實驗車A與另一輛磁懸浮正常、質量相等但沒有驅動裝置的磁懸浮實驗車P掛接，設A與P掛接后共同運動所受阻力f₂=0.50N．A與P掛接并經過足夠長時間后的某時刻，撤去驅動系統磁場，設A和P所受阻力保持不變，求撤去磁場后A和P還能滑行多遠？

Answer 1

分析：（1）實驗車的速度為零，當勻強磁場B_l和B₂同時以恒定速度v₀沿導軌方向向右運動時，車相對磁場運動，切割磁感線產生感應電流，從而受到安培力，根據公式可求大小，根據左手定則可判方向
（2）列車速度在增大，所受安培力也增大，當安培力和阻力相等時，列車速度最大，此后做勻速直線運動，根據平衡可列式求解；
（3）同（20一樣可求出試驗車和掛車達到的最大速度，撤去磁場后在阻力作用下做勻減速直線運動，根據動能定理列式求解．

解答：解：（1）t=0時刻，線框相對磁場的速度為v₀=10m/s，金屬框A中產生逆時針方向的感應電流，設瞬時電動勢大小為E₀
E0=2

△Φ

△t

=

2BLv0△t

△t

=2BLv0=4.0V
設線框中的電流大小為I₀，根據閉合電路歐姆定律
I₀=

E0

R

=2.5A
設金屬框A受到的磁場力的大小為F₀，根據安培力公式
F₀=2 BI₀L=1.0N
方向向右
（2）金屬框A達到最大速度v_m時相對磁場的速度為（v₀-v_m），設此時線圈中的感應電動勢為E₁，則   E₁=2 BL（v₀-v_m） …①
設此時金屬框中的電流為I₁，根據歐姆定律
I1=

E1

R

    ②
實驗車達到最大速度時受力平衡，f₁=2 BI₁L   ③
①②③整理得：f1=

4B2L2(v0-vm)

R

代入數據解得：v_m=8.0 m/s
（3）設A與P掛接后再次達到勻速運動時的速度為v₂，同理可得
f2=

4B2L2(v0-v2)

R

代入數據解得  v₂=5.0 m/s
設撤去磁場后A和P還能滑行的距離為s，根據動能定理
-f2s=0-

1

2

×2mv22
解得  s=100 m
答：（1）金屬框受到的磁場力的大小為為1.0N，方向向右；
（2）實驗車的最大速率v_m為8.0m/s
（3）撤去磁場后A和P還能滑行100m．

點評：解決本題的關鍵以磁場為參考系，線圈做切割磁感線運動，產生感應電流，從而受到安培力，在安培力和阻力的作用下運動．