Question

【題目】如圖所示，在圓形區域中（足夠大），有垂直于紙面向內隨時間均勻增加的磁場．在與圓心距離為的位置處有一個釘子，釘住了一根長度為，質量為的均勻絕緣棒的中心，絕緣棒能在平面內自由無摩擦地自由轉動．絕緣棒上半截均勻帶正電，電量為，下半截均勻帶負電，電量為．初始時刻絕緣棒垂直于

（1）計算在點處釘子受到的壓力

（2）若絕緣棒受到微小擾動，在平面內來回轉動起來（速度很小，洛侖茲力可以忽略），求證此運動是簡諧振動，并計算周期．（絕緣棒繞質心的轉動慣量為）

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

設由變化的磁場產生的渦旋電場大小為，則有，

得到，方向垂直于與的連線．

則桿上場強分量為，．

（1）由于上下電量相反，方向的場強為定值，故釘子在方向不受力．

在方向上，其所受電場力（考慮到上下對稱）為．

故釘子壓力為．（由于電場和坐標成正比，因而也可以使用平均電場計算電場力）

（2）設絕緣棒轉過一微小角度，此時，方向的電場力會提供回轉力矩．（由于力臂是一階小量，橫坐標變化引起的電場力改變也是一階小量，忽略二階以上小量，因而不必計算電場力改變量產生的力矩．由于電場幾乎是均勻的，所以正電荷受力的合力力臂為）

，而，則．

這是簡諧方程，故絕緣棒的運動是簡諧運動，其周期為．