Question

磁懸浮列車是一種高速運載工具，它由兩個系統組成．一是懸浮系統，利用磁力使車體在軌道上懸浮起來從而減小阻力．另一是驅動系統，即利用磁場與固定在車體下部的感應金屬線圈相互作用，使車體獲得牽引力，圖22就是這種磁懸浮列車電磁驅動裝置的原理示意圖．即在水平面上有兩根很長的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．列車底部固定著繞有N匝閉合的矩形金屬線圈abcd（列車的車廂在圖中未畫出），車廂與線圈絕緣．兩軌道間距及線圈垂直軌道的ab邊長均為L，兩磁場的寬度均與線圈的ad邊長相同．當兩磁場B_l和B₂同時沿軌道方向向右運動時，線圈會受到向右的磁場力，帶動列車沿導軌運動．已知列車車廂及線圈的總質量為M，整個線圈的總電阻為R．
（1）假設用兩磁場同時水平向右以速度v₀作勻速運動來起動列車，為使列車能隨磁場運動，列車所受的阻力大小應滿足的條件；
（2）設列車所受阻力大小恒為f，假如使列車水平向右以速度v做勻速運動，求維持列車運動外界在單位時間內需提供的總能量；
（3）設列車所受阻力大小恒為f，假如用兩磁場由靜止開始向右做勻加速運動來起動列車，當兩磁場運動的時間為t₁時，列車正在向右做勻加速直線運動，此時列車的速度為v₁，求兩磁場開始運動到列車開始運動所需要的時間t₀．

Answer 1

（1）列車靜止時，電流最大，列車受到的電磁驅動力最大設為F_m，此時，線框中產生的感應電動勢                    
 E₁=2NBLv₀
線框中的電流      I₁=

E1

R

整個線框受到的安培力    F_m=2NBI₁L
列車所受阻力大小為fm＜Fm=

4N2B2L2v0

R

（2）當列車以速度v勻速運動時，兩磁場水平向右運動的速度為v′，金屬框中感應電動勢E=2NBL（v'-v）
金屬框中感應電流I=

2NBL(v′-v)

R

又因為            F=2NBIL=f
求得           v′=v+

fR

4N2B2L2

當列車勻速運動時，金屬框中的熱功率為   P₁=I²R
克服阻力的功率為     P₂=fv
所以可求得外界在單位時間內需提供的總能量為
E=I²R+fv=fv+

f2R

4N2B2L2

（3）根據題意分析可得，為實現列車最終沿水平方向做勻加速直線運動，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運動的加速度相同，設加速度為a，則t₁時刻金屬線圈中的電動勢                 
                 E=2NBL（at₁-v₁）
金屬框中感應電流              I=

2NB L (at1-v1)

R

又因為安培力              F=2NBIL=

4N2B2L2(at1-v1)

R

所以對列車，由牛頓第二定律得    

4N2B2L2(at1-v1)

R

-f=Ma
解得                    a=

fR+4N2B2L2v1

4N2B2L2t1-MR

設從磁場運動到列車起動需要時間為t₀，則t₀時刻金屬線圈中的電動勢   E₀=2NBLat₀
金屬框中感應電流         I0=

2NBLat0

R

又因為安培力           F0=2NBIL=

4N2B2L2at0

R

所以對列車，由牛頓第二定律得   

4N2B2L2at0

R

=f
解得        t0=

fR

4N2B2L2a

=

fR(4N2B2L2t1-MR)

4N2B2L2(fR+4N2B2L2v1)

．