Question

如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示的隨時間t變化的電壓u，兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場，極板長L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^－3T，方向垂直紙面向里。現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)，電場可視作是恒定不變的。

   （1）試求帶電粒子射出電場時的最大速度。

   （2）證明任意時刻從電場射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場時在MN上的入射點(diǎn)和出磁場時在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值。寫出表達(dá)式并求出這個定值。

   （3）從電場射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場運(yùn)動一段時間后又射出磁場。求粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間和最短時間。

Answer 1

（1）設(shè)兩板間電壓為U₁時，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有

；代入數(shù)據(jù)，解得：U₁=100V

在電壓低于100V時，帶電粒子才能從兩板間射出，電壓高于100V時，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出。粒子剛好從極板邊緣射出電場時，速度最大，設(shè)最大速度為v₁，則有：；

解得：m/s=1.414×10⁵m/s

（2）                        

設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度方向與OO'的夾角為θ，

則速度大小，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑，粒子從磁場中飛出的位置與進(jìn)入磁場的位置之間的距離，代入數(shù)據(jù)，解得s=0.4m，s與θ無關(guān)，即射出電場的任何一個帶電粒子進(jìn)入磁場的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間距離恒為定值。

（3）粒子飛出電場進(jìn)入磁場，在磁場中按逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動。粒子飛出電場時的速度方向與OO'的最大夾角為α，，α=45°。當(dāng)粒子從下板邊緣飛出電場再進(jìn)入磁場時，在磁場中運(yùn)動時間最長，=3π×10^-6s=9.42×10^-6s；當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場再進(jìn)入磁場時，在磁場中運(yùn)動時間最短=π×10^-6s=3.14×10^-6s