Question

【題目】如圖（a）所示，絕緣軌道MNPQ位于同一豎直面內，其中MN段水平，PQ段豎直，NP段為光滑的1/4圓弧，圓心為O，半徑為a，軌道最左端M點處靜置一質量為m、電荷量為q(q>0)的物塊A，直線NN＇右側有方向水平向右的電場（圖中未畫出），場強為E= mg/q，在包含圓弧軌道NP的ONO＇P區域有方向垂直紙面向外的勻強磁場，在軌道M端在側有一放在水平光滑桌面上的可發射“炮彈”的電磁炮模型，其結構圖如圖（b）所示。電磁炮由兩條等長的平行光滑導軌Ⅰ、Ⅱ與電源和開關S串聯。電源的電動勢為，內阻為r，導軌Ⅰ、Ⅱ相距為d，電阻忽略不計，“炮彈”是以質量為2m，電阻為R的不帶電導體塊C，C剛好與Ⅰ、Ⅱ緊密接觸，距離兩導軌右端為l，C的底面與軌道MN在同一水平面上，整個電磁炮處于均勻磁場中，磁場方向豎直向下，磁感應強度大小為，重力加速度為g，不考慮C在導軌內運動時的電磁感應現象，A、C可視為質點，并設A所帶電荷一直未變。

(1)求導體塊C在與A碰撞前的速度大小；

(2)如A與C在極短的時間發生碰撞，碰撞過程沒有機械能損失，碰撞后A恰好能沿絕緣軌道到達P點，且A、C與絕緣軌道之間滑動摩擦系數相等，求C停下時與M點的距離。

(3)在（2）問的情況下，要求A在運動過程不離開軌道，求ONO＇P區域內磁感應強度B需滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：由閉合電路歐姆定律和動能定理求解初速度，由A、C間完全彈性碰撞，根據動量守恒定律和能量守恒求出A，C碰后的速度，再由動能定理求出C停下時與M點的距離，

由題可知，要求A運動過程不離開軌道， ，根據圓周運動知識列方程進行求解。

(1)通過“炮彈”的回路的電流為

對C由動能定理

又

聯立解得；

(2)A、C間完全彈性碰撞，取向右為正方向，由動量守恒定律和能量守恒得：

聯立解得： ，

A在右側受到的電場力

重力和電場力的合力大小為，方向垂直OQ斜向下，N、P兩點對稱，要A恰能到達P點，只要A能到達N點即可，設摩擦因數為，C靜止時與M點的距離為 ，有

聯立解得：

(3)當A由P回到N點時，洛倫茲力指向O點，A可能離開軌道，設A相對OP轉動角，其速度為V，對軌道壓力為，有

由能量守恒得

要使A不離開軌道，得

聯立解得

因為

當時，即 時，

故

考慮到極值點要求，變形可得

所以 。

點晴：解決本題關鍵理解A、C間完全彈性碰撞，即動量守恒和能量守恒，利用動量守恒和能量守恒求解碰后A和C的速度。