Question

【題目】如圖所示，半徑R＝1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ＝37°，另一端點C為軌道的最低點．C點右側的水平路面上緊挨C點放置一木板，木板質量M＝1kg，上表面與C點等高．質量m＝1kg的物塊 （可視為質點）從空中A點以v0＝1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．已知物塊與木板間的動摩擦因數μ1＝0.2，木板與路面間的動摩擦因數μ2＝0.05，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10m/s2，設木板受到的最大靜摩擦力跟滑動摩擦力相等．試求：

(1)物塊經過軌道上的B點時的速度大小；

(2)物塊經過軌道上的C點時對軌道的壓力；

(3)木板至少多長才能使物塊不從木板上滑下？

(4)若木板足夠長，請問從開始平拋至最終木板、物塊都靜止，整個運動過程中，物塊與木板間產生的內能為多少？木板與地面間產生的內能為多少？共產生的內能為多少？

Answer 1

【答案】(1)2m/s (2)46N (3)6m (4)物塊與木板產生的內能為12J，木板與地面產生的內能為6J，共產生的內能為18J

【解析】

(1)物塊從到做平拋運動，由速度分解即可求得經過點時的速度大小；

(2)根據動能定理可求得點的速度，由向心力公式可求得物塊在點受到的支持力，由牛頓第三定律可求得對軌道的壓力；

(3)由牛頓第二定律可求得物塊和木板的加速度，要使物塊不掉下去，兩物體最后應達到相同速度并且物塊剛好到達木板的最右端，由運動學公式可求得木板的長度。

(4)運用運動學公式求出物塊和木板對地的位移，根據相對位移求物塊與木板間產生的內能。根據木板對地的位移求木板與地面間產生的內能。

(1)根據末速度和豎直方向的夾角為，根據運動的分解知：

(2)從到應用動能定理

解得

在點應用牛頓第二定律：

解得：

由牛頓第三定律可知物塊經過圓軌道上的點時對軌道的壓力為；

(3)物快在木板上滑動時，設物塊和木板的加速度大小分別為、，根據牛頓第二定律，

對物塊有：

對木板有：

聯立并代入數據解得：，；

設物快和木板經過時間達到共同速度，其位移分別為、，則：

對物塊：

對木板：

聯立并代入數據解得：，

設木板長度至少為

時間內物塊的位移：

時間內木板的位移：

由題意得：

即木板長度至少才能使物塊不從木板上滑下

(4) 設物塊與木板速度相同一起滑行的距離為．則它們共同的加速度大小為：

所以，整個運動過程中，物塊與木板間產生的內能為：

木板與地面間產生的內能為：

共產生的內能為：