Question

【題目】如圖所示為一種“子母球”表演，質量分別為m、3m的兩個小球A、B靜止在地面上方，B球距離地面的高度h=0.8m，A球在B球的正上方，讓兩小球同時由靜止釋放。設所有碰撞都是彈性碰撞，重力加速度大小g=10m/s2，忽略球的直徑、空氣阻力及碰撞時間。

（1）求球B第一次落地時球A的速度大小；

（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，A球開始下落時距地面高度H的取值范圍；

（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達比其釋放點更高的位置，求H應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）A、B同時由靜止釋放，B落地時，兩球的速度大小相等，有:

①

代入數值，得

（2）球B下落過程與反彈上升的過程具有對稱性。設B往返時間為t，有:

②

設時間t內球A自由下落的高度為hA，有 ③

要保證B在第一次上升過程中與A相碰，球A自由下落的高度應大于初始時兩球的高度差，即

④

依題意： ⑤

①~⑤聯立，解得：

解法二：

B反彈后，A、B相對運動的速率為，設A、B經時間相碰，有 ②

要保證B在第一次上升過程中與A相碰，應小于B上升到最高點的時間，即

③

依題意： ④

①~④聯立，解得：

（3）設兩球相碰前后，球A的速度分別為、，球B的速度分別為、。發生彈性碰撞，兩球相碰前后的動量守恒，總動能保持不變。取向下的方向為正，有

⑥

⑦

設球B反彈后經時間t1與球A相碰，此時間內球A下落的高度（）與球B上升的高度（）之和等于初始時兩球的高度差（H-h）

即： ⑧

由運動學規律，有

⑨

⑩

要使A第一次碰后能到達比釋放點更高的位置，碰后A的速率應大于碰前的速率

⑤~聯立，得

⑤~聯立求解過程

由⑥⑦得：

由⑧⑨得：

由⑧⑩得：

代入得：

聯立，得：

解得：

結合④，知

解法二：

要使A第一次碰后能到達比釋放點更高的位置，需要在A下落過程中與B相碰，且碰后A的速率大于碰前的速率。

分析臨界情況：當A碰后與碰前速率剛好相等時，根據能量守恒，A球碰后瞬間動能不變，B球碰后瞬間動能也不變，所以A原速反彈，B也原速反彈。

設碰前A的速度大小為，B的速度大小為，兩球動量變化大小相等，所以有

2m＝2(3m)，即＝3 ⑥

B反彈后，A、B相對運動的速率為，設A、B經時間相碰，有

⑦

由運動學規律，有

⑧

⑨

⑥~⑨聯立，得

要使A第一次碰后能到達比釋放點更高的位置，需要滿足：