Question

風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室可產(chǎn)生水平方向的、大小可調(diào)節(jié)的風(fēng)力．在風(fēng)洞中有一個固定的支撐架ABC，該支撐架的外表面光滑，且有一半徑為R的四分之一圓柱面，支撐架固定在離地面高為2R的平臺上，平臺豎直側(cè)壁光滑，如圖所示，地面上的D點(diǎn)處有一豎直的小洞，小洞離側(cè)壁的水平距離為R，現(xiàn)將質(zhì)量分別為m₁和m₂的兩個小球用一根不可伸長的輕繩連接按圖示的方式置于圓柱面上，球m₁放在柱面底部的A點(diǎn)，球m₂豎直下垂．
（1）在無風(fēng)情況下，將兩球由靜止釋放（不計一切摩擦），小球m₁沿圓柱面向上滑行，到最高點(diǎn)C恰與圓柱面脫離，則兩球的質(zhì)量之比m₁：m₂是多少？（m₁到最高點(diǎn)時m₂尚未著地）
（2）改變兩小球的質(zhì)量比，并使它們由靜止開始運(yùn)動，同時開動風(fēng)機(jī)，產(chǎn)生均勻、恒定、水平向左的風(fēng)，當(dāng)小球m₁滑至圓柱面的最高點(diǎn)C時繩恰好斷裂，通過調(diào)節(jié)風(fēng)力F的大小，使小球m₁恰能與洞壁無接觸地落入小洞D的底部，求小球m₁經(jīng)過C點(diǎn)時的速度及水平風(fēng)力F的大小．

Answer 1

分析：（1）小球m₁到最高點(diǎn)C恰與圓柱面脫離，此時圓柱體對小球的支持力恰好為零，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點(diǎn)的速度．對于m₁和m₂組成的系統(tǒng)，在小球m₁沿圓柱面向上滑行的過程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式求質(zhì)量之比；
（2）由于風(fēng)力恒定，小球m₁滑至圓柱面的最高點(diǎn)C繩斷裂后，小球m₁在水平方向做末速度為零的勻減速運(yùn)動，在豎直方向做自由落體運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式求出小球m₁經(jīng)過C點(diǎn)時的速度和水平方向的加速度，由牛頓第二定律求水平風(fēng)力F．

解答：解：（1）小球m₁在C點(diǎn)恰好離開圓柱面，由圓周運(yùn)動規(guī)律可知小球在C點(diǎn)時只由重力提供向心力，mg=m

v 2 c

R

，
小球在C點(diǎn)的速度為：vc=

gR

                 
由m₁和m₂組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則將兩球由靜止釋放到小球m₁離開C點(diǎn)時有：
   m2g?(

2πR

4

)-m1gR=

1

2

(m1+m2)

v

2 c

                    
由以上兩式解得：m₁：m₂=（π-1）：3
（2）繩子斷裂后小球m₁在水平方向的平均速度為：

.

v

=

R

t

小球m₁在下落過程中在豎直方向做自由落體運(yùn)動，運(yùn)動時間為：t=

6R g

小球m₁在水平方向做末速度為零的勻減速運(yùn)動，小球m₁在離開C點(diǎn)時的速度為：v′c=2

.

v

由解得：v′c=

2gR 3

由勻變速運(yùn)動規(guī)律可知，小球在水平方向的加速度大小為：a=

v 2 c

2R

=

g

3

由牛頓第二定律可求得小球所受風(fēng)力為：F=ma=

mg

3

答：
（1）兩球的質(zhì)量之比m₁：m₂是（π-1）：3．
（2）小球m₁經(jīng)過C點(diǎn)時的速度為

2gR 3

，水平風(fēng)力F的大小是

mg

3

．

點(diǎn)評：本題第1題是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒與向心力結(jié)合，把握住最高點(diǎn)的臨界條件：圓柱體的支持力為零，由重力提供小球的向心力是關(guān)鍵．第2題關(guān)鍵是對小球進(jìn)行受力分析，結(jié)合正交分解法，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．