Question

如圖所示，在一光滑絕緣的水平面上，靜置兩個質量均為m，相距為L的小球，其中A球帶正電q，B球不帶電．若在水平面上加一水平向右的勻強電場，場強為E．A球受電場力作用，向右運動與B球碰撞，設每次碰撞前后兩球交換速度，并且碰撞過程無電荷轉移．問：在A、B兩球第n次碰撞前瞬間，A球通過的總位移S．

Answer 1

分析：第一次碰撞前，B靜止，A做初速度為零的勻加速運動，由動能定理可以求出碰前A的速度；碰撞后B球做勻速直線運動，A球做勻加速直線運動，當兩者位移相等時再次發生碰撞，由牛頓第二定律求出A的加速度，由勻變速運動的速度公式與位移公式、勻速直線運動的位移公式分析答題．

解答：解：對A由牛頓第二定律得：加速度a=

F

m

=

qE

m

，
以A為研究對象，由動能定理得：qEL=

1

2

mv₁²-0，
解得：兩球第一次碰撞前瞬間，A球速度：v₁=

2qEL m

=

2aL

；
兩球第一次碰撞后瞬間，A球速度0，B球速度v₁． 
碰后A做勻加速直線運動，B做勻速直線運動，當它們位移相等時再次發生碰撞，
兩球第二次碰撞前瞬間，有 v1t1=

1

2

a

t

2 1

，解得：t1=

2v1

a

，
此時A球速度：v₂=at₁=2v₁，
兩球第二次碰撞后瞬間，A球速度v₁，B球速度v₂=2v₁，
兩球第三次碰撞前瞬間，由v2t2=v1t2+

1

2

a

t

2 2

，
解得：t2=

2(v2-v1)

a

=

2v1

a

，
A球速度  v₃=v₁+at₂=3v₁，
兩球第三次碰撞后瞬間，A球速度v₂，B球速度v₃．
兩球第四次碰撞前瞬間，由v3t3=v2t3+

1

2

a

t

2 3

，
解得：t3=

2(v3-v2)

a

=

2v1

a

，
A球速度：v₄=v₂+at=4v₁，
…
可推得第n次碰撞前瞬間兩球分別的速度為：
A球速度v_n=nv₁，B球速度v_n-1=（n-1）v₁，
由動能定理，得：qES=

1

2

m

v

2 n

+

1

2

m

v

2 n-1

，
即：qES=

1

2

m

v

2 1

[n2+(n-1)2]，
把v₁的值代入上式，解得：S=（2n²-2n+1）L，
答：在A、B兩球第n次碰撞前瞬間，A球通過的總位移為=（2n²-2n+1）L．

點評：分析清楚物體的運動過程與運動性質、應用勻變速運動的速度公式、位移公式、勻速直線運動的位移公式即可正確解題，解題時注意數學歸納法的應用．