Question

【題目】雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關(guān)，雨滴間無相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g；

（1）質(zhì)量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時(shí)速度為u，求這一過程中空氣阻力所做的功W。

（2）研究小組同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，下雨時(shí)雨滴的速度跟雨滴大小有關(guān)，較大的雨滴落地速度較快，若將雨滴看作密度為ρ的球體，設(shè)其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力大小為f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例常數(shù)，r是球體半徑。

a. 某次下雨時(shí)，研究小組成員測得雨滴落地時(shí)的速度約為v0，試計(jì)算本場雨中雨滴半徑r的大小；

b. 如果不受空氣阻力，雨滴自由落向地面時(shí)的速度會(huì)非常大，其v-t圖線如圖所示，請?jiān)趫D中畫出雨滴受空氣阻力無初速下落的v-t圖線。

（3）為進(jìn)一步研究這個(gè)問題，研究小組同學(xué)提出下述想法：

將空氣中的氣體分子看成是空間中均勻分布的、靜止的彈性質(zhì)點(diǎn)，將雨滴的下落看成是一個(gè)面積為S的水平圓盤在上述彈性質(zhì)點(diǎn)中豎直向下運(yùn)動(dòng)的過程。已知空氣的密度為ρ0，試求出以速度v運(yùn)動(dòng)的雨滴所受空氣阻力f的大小。（最后結(jié)果用本問中的字母表示）

Answer 1

【答案】（1） （2），（3）

【解析】

（1）由動(dòng)能定理：

解得：

（2）a. 雨滴勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足：，

解得

b. 雨滴下落時(shí)，做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后勻速下落，圖像如圖.

（3）設(shè)空氣分子與圓盤發(fā)生彈性碰撞。

在極短時(shí)間t內(nèi)，圓盤迎面碰上的氣體質(zhì)點(diǎn)總質(zhì)量為：

以F表示圓盤對氣體分子的作用力，對氣體根據(jù)動(dòng)量定理有：F·＝m·2v

解得：

由牛頓第三定律可知，圓盤所受空氣阻力