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【題目】已知直線過點和橢圓：的焦點且方向向量為，且橢圓的中心關于直線的對稱點在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點的直線交橢圓于點、，且滿足（為原點）？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

【題目】由郭帆執導吳京主演的電影《流浪地球》于2019年2月5日起在中國內地上映，影片引發了觀影熱潮，預計《流浪地球》票房收入47億人民幣，超過《紅海行動》成為中國影史票房亞軍，僅次于《戰狼2》.某電影院為了解該影院觀看《流浪地球》的觀眾的年齡構成情況，隨機抽取了40名觀眾，將他們的年齡分成7段：，，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試求這40名觀眾年齡的平均數、中位數、眾數；

（2）（i）若從樣本中年齡在50歲以上的觀眾中任取3名贈送VIP貴賓觀影卡，求這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率；

（ii）該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數，將《流浪地球》電影票票價提高20元，并允許購買電影票的觀眾抽獎3次，中獎1次、2次、3次分別獎現金元、元，元.設觀眾每次中獎的概率均為，若要使抽獎方案對電影院有利，則最高可定為多少元？（結果精確到個位）

【題目】對于函數，，若存在，使，則稱，是函數與的一對“雷點”.已知，，若函數與恰有一個“雷點”，則實數的取值范圍為（ ）

A.B.C.D.

（1）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績為A的人數；

（2）若等級A，B，C，D，E分別對應5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，從這7中隨機抽取兩人，求兩人成績之和大于等于18的概率.

【題目】設，。

（1）求的單調區間；

（2）討論零點的個數；

（3）當時，設恒成立，求實數的取值范圍.

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，拋物線的動弦過點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）求的最小值.

【題目】定義：如果存在實常數a和b，使得函數總滿足，我們稱這樣的函數是“型函數”.請解答以下問題：

（1）已知函數是“型函數”，求p和b的值；

（2）已知函數是“型函數”，求一組滿足條件的k、m和a的值，并說明理由.

（3）已知函數是一個“型函數”，且，是增函數，若是在區間上的圖像上的點，求點M隨著變化可能到達的區域的面積的大小，并證明你的結論.

【題目】定義：對于一個項數為的數列，若存在且，使得數列的前k項和與剩下項的和相等（若僅為1項，則和為該項本身），我們稱該數列是“等和數列”.例如：因為，所以數列3，2，1是“等和數列”.請解答以下問題：

（1）數列1，2，p，4是“等和數列”，求實數p的值；

（2）項數為的等差數列的前n項和為，，求證：是“等和數列”.

（3）是公比為q項數為的等比數列，其中且恒成立.判斷是不是“等和數列”，并證明你的結論.

A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸

【題目】已知函數，其中，e是自然對數的底數.

（1）若是上的增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若，證明：.