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【題目】若數列滿足則稱為數列.記

（1）若為數列,且試寫出的所有可能值；

（2）若為數列，且求的最大值；

（3）對任意給定的正整數是否存在數列使得？若存在，寫出滿足條件的一個數列；若不存在，請說明理由.

【題目】設橢圓，定義橢圓C的“相關圓”E為:.若拋物線的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.

（1）求橢圓C及其“相關圓”E的方程；

（2）過“相關圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓交于A,B兩點，求證:為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且側棱 其中為的交點.

（1）求點到平面的距離；

（2）在線段上，是否存在一個點，使得直線與垂直？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數的圖象過點和點.

（1）求函數的最大值與最小值；

（2）將函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象；已知點，若函數的圖象上存在點，使得，求函數圖象的對稱中心.

【題目】設為數列的前n項和, 且滿足為常數.

（1）若，求的值；

（2）是否存在實數 ，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）當時，若數列滿足，且，令，求數列的前n項和.

【題目】設橢圓，定義橢圓C的“相關圓”E為:.若拋物線的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.

（1）求橢圓C及其“相關圓”E的方程；

（2）過“相關圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓交于A,B兩點，求證:為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

【題目】已知函數的圖象過點和點.

（1）求函數的最大值與最小值；

（2）將函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象；已知點，若函數的圖象上存在點，使得，求函數圖象的對稱中心.

【題目】已知是定義在上的函數，如果存在常數，對區間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數”。注：。

（1）證明函數在上是“絕對差有界函數”。

（2）證明函數不是上的“絕對差有界函數”。

（3）記集合存在常數，對任意的，有成立，證明集合中的任意函數為“絕對差有界函數”，并判斷是否在集合中，如果在，請證明并求的最小值；如果不在，請說明理由。

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為。我們將其結論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用。已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值；

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點。當變化時，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經過點作直線與該橢圓交于、兩點，在線段上存在點，使成立，試問：點是否在直線上，請說明理由.

【題目】如圖，一智能掃地機器人在A處發現位于它正西方向的B處和北偏東方向上的C處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應測量發現機器人到B的距離比到C的距離少0.4m，于是選擇沿路線清掃.已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2m/s,忽略機器人吸入垃圾及在B處旋轉所用時間，10秒鐘完成了清掃任務.

（1）B、C兩處垃圾的距離是多少？（精確到0.1）

（2）智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角是多少？（用反三角函數表示）