Question

（文科）雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點 F₁作傾斜角為30°的直線l，l與雙曲線的右支交于點P，若線段PF₁的中點M落在y軸上，則雙曲線的漸近線方程為

1. A.
   y=±x
2. B.
   y=±x
3. C.
   y=±x
4. D.
   y=±2x

Answer 1

C
分析：由于線段PF₁的中點M落在y軸上，連接MF₂，則|MF₁|=|MF₂|=|PM|=|PF₁|?△PF₁F₂為直角三角形，△PMF₂為等邊三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a?c=a，由c²=a²+b²可求得b=a，于是 雙曲線的漸近線方程可求．
解答：連接MF₂，由過點 PF₁作傾斜角為30°，線段PF₁的中點M落在y軸上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，
∴△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形，
∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a
∴c=a，又c²=a²+b²，
∴3a²=a²+b²，
∴b=a，
∴雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±=±x．
故選 C．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，關鍵是對雙曲線定義的靈活應用及對三角形△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形的分析與應用，屬于難題．