Question

以O為原點，

OA

所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．若

OA

•

AG

=1，點A的坐標為（t，0），t∈（0，+∞），點G的坐標為（m，3）．
（1）若以O為中心，A為頂點的雙曲線經過點G，求當|

OG

|取最小值時雙曲線C的方程；
（2）過點N（0，1）能否作出直線l，使l與雙曲線C交于S，T兩點，且OS⊥OT？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據

OA

•

AG

=1建立等式，求出m，然后根據基本不等式求出m的最小值，從而求出點G的坐標，代入雙曲線方程求出b的值即可；
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT⇒x₁x₂+y₁y₂=0，然后將直線與雙曲線聯立方程組進行求解即可．

解答：解：（1）

AG

=(m-t，3)，

OA

=(t，0)，

OA

•

AG

=t(m-t)=1⇒m=t+

1

t

≥2，t∈（0，+∞）
即t=1時，|

OG

|取最小值，此時G（2，3），設雙曲線C的方程為x2-

y2

b2

=1，
則4-

9

b2

=1⇒b2=3，∴|

OG

|取最小值時雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1．
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT⇒x₁x₂+y₁y₂=0（*）
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
由

y=kx+1 3x2-y2-3=0

⇒(3-k2)x2-2kx-4=0由△＞0⇒k²＜4
又x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-4

3-k2

代入（*）得：
∴

-4(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0⇒k2=-

1

3

⇒k∈?，即不存在滿足條件的直線l．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及利用基本不等式的應用，屬于中檔題．