Question

如圖，一列載著危重病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA方向行駛，其中sina=

10

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，在距離O地5a（a為正常數(shù)）千米，北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中sinβ=

3

5

，現(xiàn)120指揮中心緊急征調(diào)離O地正東p千米B處的救護(hù)車，先到N處載上醫(yī)學(xué)專家，再全速趕往乘有危重病人的火車，并在C處相遇．經(jīng)計(jì)算，當(dāng)兩車行駛的路線與OB所圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，搶救最及時(shí)．
（1）在以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)閥軸的直角坐標(biāo)系中，求射線OA所在的直線方程；
（2）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式S=f（p）；
（3）當(dāng)p為何值時(shí)，搶救最及時(shí)？

Answer 1

分析：（1）由其中sina=

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，我們根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，易求出直線OA的斜率，進(jìn)而得到OA所在直線的方程．
（2）由在距離O地5a（a為正常數(shù)）千米，北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中sinβ=

3

5

，我們可以得到直線BC的參數(shù)方程，聯(lián)立直線OA與BC的方程，可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入三角形面積公式，即可得到一個(gè)S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式S=f（p）；
（3）由（2）的結(jié)論，根據(jù)求函數(shù)最小值的方法，易得結(jié)論．

解答：解：（1）由sina=

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得tana=

1

3

，
∴直線OA的方程為y=3x．
（2）設(shè)點(diǎn)N（x_o，y_o），則x_o=5asinβ=3a，y_o=5acosβ=4a，
∴N（3a，4a）又B（p，0），∴直線BC的方程為y=

4a

3a-p

(x-p)．
由

y=3x y= 4a 3a-p (x-p)

得C的縱坐標(biāo)yc=

12ap

3p-5a

(p＞

5

3

a)，
∴三角形OBC面積S=

1

2

|OB|•|yc|=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．
（3）由（2）知S=

6ap2

3p-5a

=

6a

3 p - 5a p2

=

6a

-5a( 1 p - 3 10a )2+ 9 20a

．
∵p＞

5

3

a，∴0＜

1

p

＜

3

5a

.∴

1

p

=

3

10a

時(shí)，Smin=

40

3

a2．
因此，當(dāng)

10a

3

千米時(shí)，搶救最及時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建模→解模→還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．