Question

【題目】已知函數

（1）若直線與曲線都只有兩個交點，證明：這四個交點可以構成一個平行四邊形，并計算該平行四邊形的面積；

（2）設函數在[1，2]上的值域為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）12.(2)

【解析】試題分析：（1）先求出函數的極值，再根據直線與曲線都只有兩個交點得和的值，然后求出四個交點的坐標，即可證明這四個交點可以構成一個平行四邊形及計算出該平行四邊形的面積；（2）化簡，然后求導，求出的極值，對進行分類討論，求出單調性及最值，表示出，根據的取值，即可求出的單調性及最小值.

試題解析：（1）證明：令得

令得；令

∴的極大值為，極小值為.

∵,令或3；

令

∴這四個交點分別為（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）

∵3-0=2-（-1）=3

∴這四個交點可以構成一個平行四邊形，且其面積為

(2)解：因為

所以

令，得或，

①當時，

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

又因為，所以

所以

因為

所以在上單調遞減，所以當時， 的最小值為

②當時，

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

又因為，所以

所以

因為

所以在上單調遞增，所以當時，

③當時，

當時， ，所以在上單調遞減；

所以

所以

因為

所以在上的最小值為

綜上， 的最小值為

點睛:本題考查利用導數研究函數的單調性與最值,對數函數的性質及分類討論思想,利用導數研究函數的單調性時要注意先求函數的定義域,若所求的導數含有參數,在進行討論時要做到分類標準統一,對參數的討論要不重不漏.