Question

設函數f（x）的定義域、值域均為R，f（x）的反函數為f^-1（x），且對任意實數x，均有，定義數列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求證：；
（2）設b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求證：（n∈N^*）；
（3）是否存在常數A和B，同時滿足①當n=0及n=1時，有成立；②當n=2，3，…時，有成立．如果存在滿足上述條件的實數A、B，求出A、B的值；如果不存在，證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵，令x=a_n，∴．
即．
（2）∵，∴，
即．∵b₀=a₁-2a₀=-6，
∴（n∈N^*）．
（3）由（2）可知：，
假設存在常數A和B，使得對n=0，1成立，
則，解得A=B=4．
下面用數學歸納法證明對一切n≥2，n∈N成立．
1°當n=2時，由，得，
∴n=2時，成立．
2°假設n=k（k≥2），不等式成立，即，
則==
即是說當n=k+1時，不等式也成立．
所以存在A，B，且A=B=4．
分析：（1）在已知中，令x=a_n，利用函數、反函數求值知識，根據a_n=f（a_n-1）則f^-1（a_n）=a_n-1，化簡整理即可證得；
（2）將（1）變形構造，得出，即有（n∈N^*），連續遞推即可證得；
（3）先由①解得A=B=4，再用數學歸納法證明若②能同時成立，則存在，且A=B=4，否則不存在．
點評：本題考查反函數的概念、不等式的證明、數學歸納法的應用，考查變形轉化構造、歸納推理、分析解決、計算等能力，屬于難題．