Question

M公司從某大學招收畢業生，經過綜合測試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業生的測試成績如莖葉圖所示（單位：分），公司規定：成績在180分以上者到“甲部門”工作；180分以下者到“乙部門”工作．另外只有成績高于180分的男生才能擔任“助理工作”．
（I）如果用分層抽樣的方法從“甲部分”人選和“乙部分”人選中選取8人，再從這8人中選3人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？
（II）若從所有“甲部門”人選中隨機選3人，用X表示所選人員中能擔任“助理工作”的人數，寫出X的分布列，并求出X的數學期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知甲部門、乙部門的人選數，先算出每人被抽中的概率，根據抽取比例可算出甲部門、乙部門所抽取的人數，“至少有一名甲部門人被選中”的概率等于1減去其對立事件“沒有一名甲部門人被選中”的概率；
（II）依據題意，能擔任“助理工作”的人數X的取值分別為0，1，2，3，通過計算即寫出X的分布列，根據期望公式即可算出期望；

解答：解：（I）用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率為

8

20

=

2

5

，
根據莖葉圖，有“甲部門”人選10人，“乙部門”人選10人，
所以選中的“甲部門”人選有10×

2

5

=4人，“乙部門”人選有10×

2

5

=4人，
用事件A表示“至少有一名甲部門人被選中”，則它的對立事件

.

A

表示“沒有一名甲部門人被選中”，則P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 3 4

C 3 8

=1-

4

56

=

13

14

．
因此，至少有一人是“甲部門”人選的概率是

13

14

；
（Ⅱ）依據題意，所選畢業生中能擔任“助理工作”的人數X的取值分別為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 6 C 3 4

C 3 10

=

1

30

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，P（X=3）=

C 3 6 C 0 4

C 3 10

=

1

6

．
因此，X的分布列如下：

所以X的數學期望EX=0×

1

30

+1×

9

30

+2×

15

30

+3×

5

30

=

9

5

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望，考查莖葉圖、分層抽樣，考查學生對問題的分析理解能力，掌握相關概念、公式是解決該類問題的基礎．