Question

（2013•嘉定區一模）設復數z=（a²-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i為虛數單位，a為實數，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一個根，且z在復平面內所對應的點在第一象限，求θ與a的值．

Answer 1

分析：解實系數一元二次方程求得z，得到 

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解方程組求得 θ 和a的值．

解答：解：方程 x²-2x+5=0 的根為 x=1±2i，因為z在復平面內所對應的點在第一象限，所以 z=1+2i，
所以，

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，解得 cosθ=

1

2

，因為 θ∈（0，π），所以，θ=

π

3

．
所以，a²=1+4sin²θ=1+4×

3

4

=4，a=±2．
綜上，θ=

π

3

，a=±2．

點評：本題考查實系數一元二次方程的解法，復數與復平面內對應點之間的關系，根據三角函數值求角，得到

a2-4sin2θ = 1 1+2cosθ = 2

，是解題的關鍵．