Question

函數y=2^x-2和y=

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x2的圖象如圖所示，其中有且只有x=x₁、x₂、x₃時，兩函數數值相等，且x₁＜0＜x₂＜x₃，o為坐標原點．
（Ⅰ）請指出圖中曲線C₁、C₂分別對應的函數；
（Ⅱ）現給下列二個結論：
①當x∈（-∞，-1）時，2^x-2＜

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x2；
②x₂∈（1，2）；  
請你判定是否成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據已知中兩個函數的圖象，結合二次函數在對稱軸左右兩側單調性相反，而指數函數在定義上單調，可分析出圖中曲線C₁、C₂分別對應的函數；
（Ⅱ）①由函數解析式可得當x=-1時，兩函數的函數值相等，結合兩個函數在區間（-∞，-1）上的單調性，可得結論；②構造函數f(x)=2x-2-

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x2，根據函數零點存在定理可判斷其真假．

解答：解：（Ⅰ）由已知中曲線C₁有一段從左到右是下降的
故C₁為y=

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x2，…（3分）
則C₂為y=2^x-2；   …（5分）
（Ⅱ）結論①成立，理由如下：
∵函數y=2^x-2在（-∞，-1]上是增函數，
∴x∈（-∞，-1）時，2x-2＜2-1-2=

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．…（7分）  
 又∵函數y=

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x2在（-∞，-1]上是減函數，
∴x∈（-∞，-1）時，

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x2＞

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×(-1)2=

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而

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＜

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，
所以當x∈（-∞，-1）時，2x-2＜

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x2；…（10分）
結論②成立，理由如下：
構造函數f(x)=2x-2-

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x2，
則f(1)=

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＞0，f(2)=-

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＜0
∴f（x）在區間（1，2）內有零點．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數的圖象和性質，函數與不等式之間的辯證關系，函數的零點，熟練掌握二次函數及指數函數的圖象和性質是解答的關鍵．