Question

函數y=2^x-2和y=

1

3

x²的圖象如圖所示，其中有且只有X=x₁，x₂，x₃時，兩函數值相等，
且x₁＜0＜x₂＜x₃，0為坐標原點．現給出下列三個結論：
①當x∈（-∞，-1）時，2^x-2＜x²；
②x₂∈（1，2）；
③x₃∈（4，5）．其中正確結論的序號為

①②

．

Answer 1

分析：先將函數圖象交點范圍問題轉化為函數f（x）=2^x-2-

1

3

x²的零點問題，再利用零點存在性定理，判斷零點范圍即可作出正確選擇

解答：解：設函數f（x）=2^x-2-

1

3

x²，
∵f（-1）=

1

8

-

1

3

＜0，f（0）=

1

4

＞0
∴f（x）的一個零點在（-1，0）上，即-1＜x₁＜0，①正確；
∵f（1）=

1

2

-

1

3

＞0，f（2）=1-

4

3

＜0
∴1＜x₂＜2，②正確
同理，f（4）=4-

16

3

＜0，f（5）=8-

25

3

＜0，f（6）=16-

36

3

＞0
∴5＜x₃＜6，③錯誤
故答案為①②

點評：本題主要考查了函數零點的存在性定理和零點范圍的判斷方法，函數零點問題與函數圖象交點問題間的聯系和相互轉化，一定的運算能力和比較大小能力