Question

【題目】如圖所示的平面圖形中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△HDA和△GDC都是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)E是線段GC的中點(diǎn)．現(xiàn)將△HDA和△GDC分別沿著DA，DC翻折，直到點(diǎn)H和G重合為點(diǎn)P．連接PB，得如圖的四棱錐．

（Ⅰ）求證：PA//平面EBD；

（Ⅱ）求二面角大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）60o.

【解析】試題分析：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，由EO為△CPA的中位線，能證明PA//平面EDB （2）分別求出平面PBD和PBC的法向量，利用向量法能求出二面角的大小

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，

連接EO，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD

是正方形，所以O為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>E為PC中點(diǎn)，

所以EO為△CPA的中位線，

所以EO//PA

因?yàn)?/span>EO平面EDB，PA平面EDB

所以PA//平面EDB

（Ⅱ）由題意有，

故DA，DC，DP兩兩垂直

如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

有

由題知

又因?yàn)?/span>AC平面ABCD，所以，

又，，所以

所以平面PBD的法向量是

設(shè)平面PBC的法向量，

由于，

則有，所以

令，得

則

由圖可知求二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為60o