Question

如圖，在六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面；
（Ⅱ）求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A-BB1-C的大小（用反三角函數值圾示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD，則D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，而平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，則C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA，設E，F分別為DA，DC的中點，連接EF，A₁E，C₁F，易證A₁C₁∥AC，從而A₁C₁與AC共面，過點B₁作B₁O⊥平面ABCD于點O，連接OE，OF，則點O在BD上，從而D₁B₁與DB共面．
（Ⅱ）欲證平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面A₁ACC₁內一直線與平面B₁BDD₁垂直，因D₁D⊥平面ABCD，則D₁D⊥AC，又BD⊥AC，D₁D與BD是平面B₁BDD₁內的兩條相交直線，則AC⊥平面B₁BDD₁，又平面A₁ACC₁過AC，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影則AC⊥DB，根據三垂線定理，有AC⊥B₁B．過點A在平面ABB₁A₁內作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，
則B₁B⊥平面AMC，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個平面角，在三角形AMC中求出此角即可．

解答：解：
（Ⅰ）證明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD．
∴D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD．
于是C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA．
設E，F分別為DA，DC的中點，連接EF，A₁E，C₁F，
有A₁E∥D₁D，C₁F∥D₁D，DE=1，DF=1．∴A₁E∥C₁F，
于是A₁C₁∥EF．由DE=DF=1，得EF∥AC，
故A₁C₁∥AC，A₁C₁與AC共面．
過點B₁作B₁O⊥平面ABCD于點O，
則B1O

∥ .

.

A1E，B1O

∥ .

.

C1F，連接OE，OF，
于是OE

∥ .

.

B1A1，OF

∥ .

.

B1C1，∴OE=OF．
∵B₁A₁⊥A₁D₁，∴OE⊥AD．∵B₁C₁⊥C₁D₁，∴OF⊥CD．
所以點O在BD上，故D₁B₁與DB共面．
（Ⅱ）證明：∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又BD⊥AC（正方形的對角線互相垂直），
D₁D與BD是平面B₁BDD₁內的兩條相交直線，∴AC⊥平面B₁BDD₁．
又平面A₁ACC₁過AC，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅲ）解：∵直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根據三垂線定理，有AC⊥B₁B．
過點A在平面ABB₁A₁內作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，
則B₁B⊥平面AMC，
于是B₁B⊥MC，B₁B⊥MO，
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個平面角．
根據勾股定理，有A1A=

5

，C1C=

5

，B1B=

6

．
∵OM⊥B₁B，有OM=

B1O?OB

B1B

=

2

3

，
BM=

2 3

，AM=

10 3

，CM=

10 3

．
cos∠AMC=

AM2+CM2-AC2

2AM?CM

=-

1

5

，
∠AMC=π-arccos

1

5

，
二面角A-BB₁-C的大小為π-arccos

1

5

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．