Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）求五面體ABCDEFG的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設DG的中點為M，連接AM、FM，證明BF平行平面ACGD內的直線AM，即可證明BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）利用V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}直接求五面體ABCDEFG的體積．

解答：解：（Ⅰ）設DG的中點為M，連接AM、FM，
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF∥AM，
又BF?平面ACGD 故BF∥平面ACGD（6分）
（Ⅱ）V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．