Question

設函數

（Ⅰ）當時，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）.

【解析】本題考查導數在研究函數性質、研究不等式和方程問題中的綜合運用，試題的難度不大，但考查點極為全面。本題的難點是第三問中方程解的研究，當函數具有極值點時，在這個極值點左右兩側，函數的單調性是不同的，這樣就可以根據極值的大小，結合函數圖象的變化趨勢確定方程解的個數，如本題中函數在定義域內有唯一的極值點，而且是極小值點，也就是最小值點，如果這個最小值小于零，函數就出現兩個零點，方程就有兩個不同的實數解，只有當這個最小值等于零時，方程才有一個實數解，而最小值等于零的這個極小值點滿足在此點處的導數等于零，函數值也等于零，即我們的【解析】中的方程組，由這個方程組求解使用了構造函數通過函數的性質得到的方法也是值得仔細體會的技巧。（1）函數的定義域是，把代入函數解析式，求其導數，根據求解目標，這個導數在函數定義域內只有一個等于零的點，判斷這唯一的極值點是極大值點即可；（2）即函數的導數在小于或者等于恒成立，分類參數后轉化為函數的最值；（3）研究函數是單調性得到函數的極值點，根據函數圖象的變化趨勢，判斷何時方程有唯一實數解，得到所滿足的方程，解方程求解。

解：（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），當時，，

（2′）令=0，解得．（∵）

因為有唯一解，所以，當時，

，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。

所以的極大值為，此即為最大值………4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當時，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，

設，則．令，．因為，，所以（舍去），，

當時，，在（0，）上單調遞減，當時，，在（，+∞）單調遞增當時，=0，取最小值．（12′）

則既

所以，因為，所以（*）

設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解．

因為，所以方程（*）的解為，即，解得．…12分