Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）設函數在處的切線方程為，若函數是上的單調增函數，求的值；

（3）是否存在一條直線與函數的圖象相切于兩個不同的點？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的極大值為；極小值為；（2）；（3）見解析

【解析】

（1），列極值表，即可求得的極值；（2）設切線方程為，從而，記，即求在上恒成立，將變形為恒成立，由基本不等式成立求得；（3）假設存在一條直線與函數的圖象有兩個不同的切點，分別寫出 處的切線方程，由為同一直線得整理得消去得，，令構造函數，求導求得，推出矛盾，說明假設不成立，則不存在

（1） 當時，函數的定義域為．

則，令 得，或．列表：

		1		2
	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數的極大值為；極小值為．

（2）依題意，切線方程為，

從而，

記，

則在上為單調增函數，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

變形得在上恒成立 ，

因為（當且僅當時，等號成立），

所以，從而，所以．

（3）假設存在一條直線與函數的圖象有兩個不同的切點，，不妨，則處切線的方程為：，

處切線的方程為：．

因為，為同一直線，所以即

整理得， 消去得，．

令，由與，得，

記，則，

所以為上的單調減函數，所以．

從而式不可能成立，所以假設不成立，從而不存在一條直線與函數的圖象有兩個不同的切點．