Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a為實數．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導數可得f′（x）= ﹣a

∵f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，∴ ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥ ，x∈（1，+∞）．

∴a≥1．

令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．當x＜lna時，g′（x）＜0；當x＞lna時，g′（x）＞0．

又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．

故a的取值范圍為：a＞e．

（2）解：當a≤0時，g（x）必為單調函數；當a＞0時，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna，

因為g（x）在（﹣1，+∞）上是單調增函數，類似（1）有lna≤﹣1，即0＜ ．結合上述兩種情況，有 ．

①當a=0時，由f（1）=0以及f′（x）= ＞0，得f（x）存在唯一的零點；

②當a＜0時，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函數f（x）在[ea，1]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點．

另外，當x＞0時，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，所以f（x）只有一個零點．

③當0＜a≤ 時，令f′（x）= ﹣a=0，解得x= ．當0＜x＜ 時，f′（x）＞0，當x＞ 時，f′（x）＜0，

所以，x= 是f（x）的最大值點，且最大值為f（ ）=﹣lna﹣1．

（i）當﹣lna﹣1=0，即a= 時，f（x）有一個零點x=e；

（ii）當﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜ 時，f（x）有兩個零點；

實際上，對于0＜a＜ ，由于f（ ）=﹣1﹣ ＜0，f（ ）＞0，且函數f（x）在[ ]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ ）上存在零點．

另外，當0＜x＜ 時，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0， ）上時單調增函數，所以f（x）在（0， ）上只有一個零點．

下面考慮f（x）在（ ，+∞）上的情況，先證明f（ ）=a（ ）＜0．

為此，我們要證明：當x＞e時，ex＞x2．設h（x）=ex﹣x2，則h′（x）=ex﹣2x，再設l（x）=h′（x）=ex﹣2x，則l′（x）=ex﹣2．

當x＞1時，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上時單調增函數；

故當x＞2時，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，從而h（x）在（2，+∞）上是單調增函數，進而當x＞e時，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即當x＞e時，ex＞x2

當0＜a＜ ，即 ＞e時，f（ ）= =a（ ）＜0，又f（ ）＞0，且函數f（x）在[ ， ]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ ， ）上存在零點．

又當x＞ 時，f′（x）= ﹣a＜0，故f（x）在（ ，+∞）上是單調減函數，所以f（x）在（ ，+∞）上只有一個零點．

綜合（i）（ii）（iii），當a≤0或a= 時，f（x）的零點個數為1，當0＜a＜ 時，f（x）的零點個數為2．

【解析】（1）求導數，利用f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，轉化為 ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結合導數知識，即可求得結論；（2）先確定a的范圍，再分類討論，確定f（x）的單調性，從而可得f（x）的零點個數．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．